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代数学 線形代数

2次正方行列(2×2行列)の逆行列の定義と公式

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2次正方行列の和と積の計算で2次正方行列のかけ算を定義し、かけ算した後の行列が単位行列になる問題に触れた。

単位行列(2次)

単位行列とは

\[ I= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

のこと。対角線上の成分が $1$ でそれ以外の成分が $0$ になる行列を単位行列という。

\[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

このように行列と行列をかけて単位行列になるとき、もとの行列は互いに逆行列であるという。

$2$ 次正方行列 $A,\ B$ に対して

\[ AB=I \]

が成り立つとき、$B$ を $A$ の逆行列、または $A$ を $B$ の逆行列という。また $A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書く。

2 次元正方行列の逆行列の公式

ここでは正方行列の行列式について既知とする。行列式については行列式の定義と意味を参照。

2 次元正方行列の逆行列の公式

\[ A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \]

の逆行列 $A^{-1}$ は

\[ A= \left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right) = \dfrac{1}{|A|} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \]

である。ここで $|A|$ は $A$ の行列式である。

実際、上の行列がもとの行列の逆行列になっているか確かめよう。

\[ AA^{-1}\\ = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right)\\ = \left( \begin{array}{cc} a\times\dfrac{d}{|A|}+b\times\dfrac{-c}{|A|} & a\times\dfrac{-b}{|A|}+b\times\dfrac{a}{|A|} \\ c\times\dfrac{d}{|A|}+d\times\dfrac{-c}{|A|} & c\times\dfrac{-b}{|A|}+d\times\dfrac{a}{|A|} \end{array} \right)\\ = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{ad-bc}{|A|} & 0 \\ 0 & \dfrac{ad-bc}{|A|} \end{array} \right)\\ = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

実は

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

である。一般に行列のかけ算は交換法則が成り立たない(非可換性を持つ)が、行列と逆行列のかけ算は唯一普遍的に交換法則が成り立つ。

逆行列の計算例

\[ (1)\ \ A= \left( \begin{array}{cc} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \]

\[ |A|=7 \times 1-3 \times 2=1 \]

\[ A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{array} \right) \]

\[ (2)\ \ A= \left( \begin{array}{cc} 9 & 4 \\ 4 & 2 \end{array} \right) \]

\[ |A|=9 \times 2-4 \times 4=2 \]

\[ A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{2}{2} & \dfrac{-4}{2} \\ \dfrac{-4}{2} & \dfrac{9}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & \dfrac{9}{2} \end{array} \right) \]

行列

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