2次正方行列(2×2行列)の逆行列の定義と公式
$2$ 次正方行列 $A,\ B$ が
\[ AB=I \]
をみたすとき,$B$ を $A$ の逆行列,または $A$ を $B$ の逆行列 invertible matrix という.$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書く.
逆行列の例
\[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]
だから
\[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \]
は
\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \]
の逆行列.
逆行列の公式
\[ A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \]
の逆行列 $A^{-1}$ は
\[ A^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right) \\ =\dfrac{1}{|A|} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \]
となる.$| A |$ は $A$ の行列式.この行列がもとの行列の逆行列になっているか確かめよう.
\[ AA^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right) \\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{ad-bc}{|A|} & 0 \\ 0 & \dfrac{ad-bc}{|A|} \end{array} \right)\\ =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]
そして
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]
がなりたつ.
逆行列の計算例 $1$
\[ A= \left( \begin{array}{cc} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \]
\[ |A|=7 \times 1-3 \times 2=1 \]
\[ A^{-1} =\left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{array} \right) \]
逆行列の計算例 $2$
\[ A=\left( \begin{array}{cc} 9 & 4 \\ 4 & 2 \end{array} \right) \]
\[ |A|=9 \times 2-4 \times 4=2 \]
\[ A^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{2}{2} & \dfrac{-4}{2} \\ \dfrac{-4}{2} & \dfrac{9}{2} \end{array} \right)\\ =\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & \dfrac{9}{2} \end{array} \right) \]
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