線形代数の世界抽象数学の入り口（大学数学の入門）の対象となる読者と使い方について

「線形代数の世界　抽象数学の入り口」は大学数学の入門というサブタイトルがついていますが、本書は線形代数の入門書ではありません。

「行列ってなに？」という入門ではなく、「線形代数の次のステップとしての抽象代数学」の入門書です。

著者斎藤毅
出版社東京大学出版会
ページ 278
ISBN 9784130629577

いわゆる「線形代数」はわかっているものとする

行列の演算、行列式、線形写像などの具体的なイメージはわかっているものとして、その次の抽象的な代数学に踏みこんでいます。

代数はだんだん抽象的になっていきますが、ほとんどの代数の専門書は具体的な代数と抽象的な代数をまとめて扱って、結局読者を圧倒してしまうところがあります。

線形代数の始まりは二次元、三次元空間と点の移動です。まずは座標という具体的な幾何によって行列を理解します。これが多くの線形代数の専門書の前半部分に相当します。

しかし線形代数はだんだん抽象的になっていきます。座標からvという単なるベクトルの記号になり、写像も行列という数字からfになってしまいます。さらに本書の第6章と第7章にあるような郡と商空間にいたります。

三次元空間と点の移動
↓
n次元座標空間と座標変換
↓
線形空間と線型写像
↓
群と準同型写像
↓
表現論、環論

という流れが抽象代数学の順序です。本書は後半で群と作用について言及していますが、群は群で理論があり、さらに抽象化します。

本書は上の流れでいう最初と最後のしっぽを切りとった真ん中を説明しています。実はこの真ん中はとても重要で、この部分だけにスポットをあてた専門書はほとんどありません。

代数を一通り勉強するとこの本がいかに貴重かわかると思います。

以上から「線形代数の世界　抽象数学の入り口」は

・行列とベクトルの基本的概念はわかっている
・具体的には行列式の求め方と連立方程式の解き方がわかっている

理系の大学二～三年生を対象としています。

付属の問題をひたすら解く。管理人は大学四年生のときに著者の代数の授業を受けましたが、やはり例題と計算が中心でした。理論を学んだら、証明問題と計算問題で知識をアウトプットする。これは代数に限らず数学一般の近道です。

大学生のときに真面目に受けた数少ない授業が著者先生の授業でした。「log(1+x)の展開を覚えていないというのは、数学科の学生としてありえないことだよ」ということをおっしゃったのを今でも覚えています（勘違いだったらスミマセン。別のさいとう先生だったかも）。

というのも管理人は展開などというものは覚えていなかったからです。