食塩水の重さと濃度に関する文章題|中学受験算数の文章題

食塩を水に溶かすと食塩水になります.食塩を多く溶かすとしょっぱい食塩水ができますが,「どのくらいしょっぱいか」の程度は濃度(単位はパーセント)で表します.
[
\text{(濃度)}=\dfrac{\text{(食塩の重さ)}}{\text{(食塩水の重さ)}}\times{100}
]
(80\ \mathrm{g}) の食塩が溶けている (200\ \mathrm{g}) の食塩水の濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{80}{200}\times{100}\
&=&\dfrac{8}{20}\times{100}\
&=&8\times{5}\
&=&40
\end{eqnarray
}
(40\ \mathrm{\%}) となります.また濃度を使って食塩の重さを求めることができます.
[
\text{(食塩の重さ)}=\text{(食塩水の重さ)}\times\dfrac{(濃度)}{100}
]
(7\ \mathrm{\%}) の食塩水 (300\ \mathrm{g}) の食塩の重さは
\begin{eqnarray}
&&300\times\dfrac{7}{100}\
&=&3\times{7}\
&=&21
\end{eqnarray
}
(21\ \mathrm{g}) となります.

1次の量を求めなさい.

((1)) (8\ \mathrm{\%}) の食塩水 (200\ \mathrm{g}) の食塩の重さ

((2)) (20\ \mathrm{\%}) の食塩水 (150\ \mathrm{g}) の食塩の重さ

((3)) (12\ \mathrm{\%}) の食塩水 (800\ \mathrm{g}) の食塩の重さ

((4)) (6\ \mathrm{\%}) の食塩水 (450\ \mathrm{g}) の食塩の重さ

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1)) (200\times\dfrac{8}{100}=2\times{8}=16\ \mathrm{g})

((2)) (150\times\dfrac{20}{100}=150\times\dfrac{1}{5}=30\ \mathrm{g})

((3)) (800\times\dfrac{12}{100}=8\times{12}=96\ \mathrm{g})

((4)) (450\times\dfrac{6}{100}=450\times\dfrac{3}{50}=27\ \mathrm{g})

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食塩水と水(食塩水,食塩)を混ぜる問題

(400\ \mathrm{g}) の水に (100\ \mathrm{g}) の食塩を加えると何 (\%) の食塩水ができるか考えてみよう.まず (400\ \mathrm{g}) の水と (100\ \mathrm{g}) の食塩を混ぜると
[
400+100=500
]
(500\ \mathrm{g}) の食塩水ができます.よって濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{100}{500}\times{100}\
&=&\dfrac{1}{5}\times{100}\
&=&20
\end{eqnarray
}
(20\ \mathrm{\%}) となります.

水 (80\ \mathrm{g}) を加えると濃度がどのように変わるか考えてみよう.まず最初の食塩水の食塩の重さは
\begin{eqnarray}
&&320\times\dfrac{5}{100}\
&=&320\times\dfrac{1}{20}\
&=&16
\end{eqnarray
}
(16\ \mathrm{g}) です.ここで最初の食塩水の食塩,食塩水の重さを縦に書いてみましょう.
[
\begin{pmatrix}
16\
320
\end{pmatrix}
]
問題ではこれに水 (80\ \mathrm{g}) を加えるので食塩水は (320\ \mathrm{g}) から (320+80=400\ \mathrm{g}) にふえます.しかし食塩は (16\ \mathrm{g}) のままです.つまり
[
\begin{pmatrix}
16\
400
\end{pmatrix}
]
となるわけです.
[
\begin{pmatrix}
16\
320
\end{pmatrix}
\xrightarrow{+\text{水}80\ \mathrm{g}}
\begin{pmatrix}
16\
400
\end{pmatrix}
]
左が水を入れる前,右が水を入れた後の食塩と食塩水です.水を入れた後の濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{16}{400}\times{100}\
&=&\dfrac{16}{4}\
&=&4
\end{eqnarray
}
(4\ \mathrm{\%}) となります.

1次の混ぜた後の食塩水の濃度を求めなさい.

((1)) (8\ \mathrm{\%}) の食塩水 (700\ \mathrm{g}) に水 (100\ \mathrm{g}) を加える

((2)) (30\ \mathrm{\%}) の食塩水 (250\ \mathrm{g}) に水 (50\ \mathrm{g}) を加える

((3)) (5\ \mathrm{\%}) の食塩水 (640\ \mathrm{g}) に水 (160\ \mathrm{g}) を加える

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1)) 最初の食塩水にふくまれる食塩は
\begin{eqnarray}
&&700\times\dfrac{8}{100}\
&=&7\times{8}\
&=&56
\end{eqnarray
}
(56\ \mathrm{g}) である.水を加えた後の食塩水は (700+100=800\ \mathrm{g}) だから
[
\begin{pmatrix}
56\
700
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
56\
800
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{56}{800}\times{100}\
&=&\dfrac{56}{8}\
&=&7
\end{eqnarray
}
(7\ \mathrm{\%}) となる.

((2)) 最初の食塩水にふくまれる食塩は
\begin{eqnarray}
&&250\times\dfrac{30}{100}\
&=&250\times\dfrac{3}{10}\
&=&25\times{3}\
&=&75
\end{eqnarray
}
(75\ \mathrm{g}) である.水を加えた後の食塩水は (250+50=300\ \mathrm{g}) だから
[
\begin{pmatrix}
75\
250
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
75\
300
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{75}{300}\times{100}\
&=&\dfrac{75}{3}\
&=&25
\end{eqnarray
}
(25\ \mathrm{\%}) となる.

((3)) 最初の食塩水にふくまれる食塩は
\begin{eqnarray}
&&640\times\dfrac{5}{100}\
&=&640\times\dfrac{1}{20}\
&=&32
\end{eqnarray
}
(32\ \mathrm{g}) である.水を加えた後の食塩水は (640+160=800\ \mathrm{g}) だから
[
\begin{pmatrix}
32\
640
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
32\
800
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{32}{800}\times{100}\
&=&\dfrac{32}{8}\
&=&4
\end{eqnarray
}
(4\ \mathrm{\%}) となる.

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続いて食塩水に食塩を加える問題を考えよう. (20\ \mathrm{\%}) の食塩水 (600\ \mathrm{g}) に食塩 (40\ \mathrm{g}) を加えると濃度はどのように変わるでしょうか.

まず最初の食塩水の食塩は
\begin{eqnarray}
&&600\times\dfrac{20}{100}\
&=&600\times\dfrac{1}{5}\
&=&120
\end{eqnarray
}
(120\ \mathrm{g}) ふくまれています.これに食塩を (40\ \mathrm{g}) 加えるため,食塩は
[
120+40=160
]
(160\ \mathrm{g}) になります.一方食塩水は (600+40=640\ \mathrm{g}) あるので
[
\begin{pmatrix}
120\
600
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
160\
640
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{160}{640}\times{100}\
&=&\dfrac{16}{64}\times{100}\
&=&\dfrac{4}{16}\times{100}\
&=&\dfrac{1}{4}\times{100}\
&=&25
\end{eqnarray
}
(25\ \mathrm{\%}) となります.

2次の混ぜた後の食塩水の濃度を求めなさい.

((1)) (10\ \mathrm{\%}) の食塩水 (840\ \mathrm{g}) に食塩 (240\ \mathrm{g}) を加える

((2)) (8\ \mathrm{\%}) の食塩水 (420\ \mathrm{g}) に食塩 (40\ \mathrm{g}) を加える

((3)) (15\ \mathrm{\%}) の食塩水 (800\ \mathrm{g}) に食塩 (50\ \mathrm{g}) を加える

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

((1)) 最初の食塩水の食塩は
\begin{eqnarray}
&&840\times\dfrac{10}{100}\
&=&840\times\dfrac{1}{10}\
&=&84
\end{eqnarray
}
(84\ \mathrm{g}) ふくまれる.食塩を (240\ \mathrm{g}) 加えると,食塩は (84+240=324\ \mathrm{g}) ,食塩水は (840+240=1080\ \mathrm{g}) となるので
[
\begin{pmatrix}
84\
840
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
324\
1080
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{324}{1080}\times{100}\
&=&\dfrac{3}{10}\times{100}\
&=&30
\end{eqnarray
}
(30\ \mathrm{\%}) となる.

((2)) 最初の食塩水の食塩は
\begin{eqnarray}
&&420\times\dfrac{8}{100}\
&=&420\times{0.08}\
&=&33.6
\end{eqnarray
}
(33.6\ \mathrm{g}) ふくまれる.食塩を (40\ \mathrm{g}) 加えると,食塩は (33.6+40=73.6\ \mathrm{g}) ,食塩水は (420+40=460\ \mathrm{g}) となるので
[
\begin{pmatrix}
33.6\
420
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
73.6\
460
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{73.6}{460}\times{100}\
&=&\dfrac{73.6}{46}\times{10}\
&=&1.6\times{10}\
&=&16
\end{eqnarray
}
(16\ \mathrm{\%}) となる.

((3)) 最初の食塩水の食塩は
\begin{eqnarray}
&&800\times\dfrac{15}{100}\
&=&800\times\dfrac{3}{20}\
&=&40\times{3}\
&=&120
\end{eqnarray
}
(120\ \mathrm{g}) ふくまれる.食塩を (50\ \mathrm{g}) 加えると,食塩は (120+50=170\ \mathrm{g}) ,食塩水は (800+50=850\ \mathrm{g}) となるので
[
\begin{pmatrix}
120\
800
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
170\
850
\end{pmatrix}
]
濃度は
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{170}{850}\times{100}\
&=&\dfrac{17}{85}\times{100}\
&=&\dfrac{1}{5}\times{100}\
&=&20
\end{eqnarray
}
(20\ \mathrm{\%}) となる.

[/su_spoiler]
[/su_accordion]