等差数列の性質と一般項と和の公式(等差数列の和は台形の面積)

等差数列の定義

以下は等差数列の例です。

$2,5,8,11,\cdots,95$

$2$ から$5$ 、$5$ から $8$ というふうに3ずつ増えています。増え方(あるいは減り方)が変わらない数列を等差数列といいます。

等差数列の最初の数を初項、二つの項の差を公差と呼びます。上の例では初項は $2$ 、公差は $3$ です。

等差数列のユニークな性質

上で出てきた等差数列をもう少し分析します。

$2,5,8,11,14,17,20,23,26$

ここで1番目と3番目の和、2番目と4番目の和、3番目と5番目の和…を求めます。

1番目と3番目の和 $2+8=10$ 2番目と4番目の和 $5+11=16$ 3番目と5番目の和 $8+14=22$ 4番目と6番目の和 $11+17=28$ 5番目と7番目の和 $14+20=34$

実は1番目と3番目の和は2番目の2倍、2番目と4番目の和は3番目の2倍、3番目と5番目の和は4番目の2倍となっています。

1番目と3番目の和 $10=5\cdot 2$ 2番目と4番目の和 $16=8\cdot 2$ 3番目と5番目の和 $22=11\cdot 2$ 4番目と6番目の和 $28=14\cdot 2$ 5番目と7番目の和 $34=17\cdot 2$

つまり等差数列では1つ飛ばしの2つの数の和は真ん中の数の2倍になっているのです。これは非常に重要な性質です。

等差数列の一般項

初項 $a$ 、公差 $d$ の一般項 $a_n$ は

$a_n = a+(n-1)d$

となります。上の例をもう一度見てみましょう。上の等差数列の初項は2、公差は3であるため、一般項は

$a_n = 2+(n-1)3 = 3n-1$

となりますが、この式が実際に正しいことは容易に確かめられます。$3n-1$ の $n$ に $1,2,3,4,5$ を代入すると $2,5,8,11,14$ となり、もとの数列に一致することがわかります。

等差数列の和の公式

等差数列の和は台形の面積の公式と一致します。

初項 $a$ 、公差 $d$ 、第 $n$ 項が $b$ の等差数列において、第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は $S_n = \dfrac{1}{2}n(a+b)$ となる

ここで初項を上底、末項(第 $n$ 項)を下底、項数( $n$ )を高さ、等差数列の和を台形の面積と考えてください。

初項 → 上底 末項 → 下底 項数 → 高さ 和  → 面積

とみなすと上の公式が台形の面積そのままであることがわかります。