仕事算の解き方と問題|中学受験算数の文章題

例題
ある仕事をするのに, (\mathrm{A}) は (3) 日, (\mathrm{B}) は (6) 日かかります. (\mathrm{A}) と (\mathrm{B}) がいっしょにこの仕事をすると何日かかりますか.

解答
全体の仕事を (1) とすると (\mathrm{A}) と (\mathrm{B}) の (1) 日あたりの仕事は

[
\mathrm{A}\ \cdots\ 1\div{3}=\dfrac{1}{3}\
\mathrm{B}\ \cdots\ 1\div{6}=\dfrac{1}{6}
]

となる. (\mathrm{A}) と (\mathrm{B}) がいっしょに仕事をすると, (1) 日あたり

\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}&=&\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\
&=&\dfrac{3}{6}\
&=&\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray
}

(\dfrac{1}{2}) の仕事になる.

[
\text{(仕事日数)=(全体の仕事)÷(1日あたりの仕事)}
]

であるから, (\mathrm{A}) と (\mathrm{B}) がいっしょに仕事をすると

[
1\div\dfrac{1}{2}=2
]

(2) 日かかる.

(終わり)

このような「仕事」をあつかう問題を仕事算といいます.仕事算は基本的に全体の仕事を (1) として,各人の単位あたり(例えば一日あたり)の仕事を計算します.二人以上の人がいっしょに仕事をする場合は,その単位あたりの仕事を足してください.

人数は二人も三人も同じ.

※なお全体の仕事を (1) 以外にする方法もあります.それはいったいどのような数でしょうか? 考えてみよう.

基本問題

1ある仕事をするのに (\mathrm{A}) は (10) 日, (\mathrm{B}) は (12) 日, (\mathrm{C}) は (15) 日かかります. (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) , (\mathrm{C}) がいっしょに仕事をすると何日かかりますか.

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

全体の仕事を (1) とすると (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) , (\mathrm{C}) の (1) 日あたりの仕事は

[
\mathrm{A}\ \cdots\ 1\div{10}=\dfrac{1}{10}\
\mathrm{B}\ \cdots\ 1\div{12}=\dfrac{1}{12}\
\mathrm{C}\ \cdots\ 1\div{15}=\dfrac{1}{15}
]

となる. (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) , (\mathrm{C}) がいっしょに仕事をすると, (1) 日あたり

\begin{eqnarray}
&&\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}\
&=&\dfrac{6}{60}+\dfrac{5}{60}+\dfrac{4}{60}\
&=&\dfrac{15}{60}\
&=&\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray
}

(\dfrac{1}{4}) の仕事になる.よって (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) , (\mathrm{C}) がいっしょに仕事をすると

[
1\div\dfrac{1}{4}=4
]

(4) 日かかる.

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2ある仕事をするのに (\mathrm{A}) は (6) 日, (\mathrm{B}) は (9) 日かかります. (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) がいっしょに仕事をすると何日かかりますか.

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

全体の仕事を (1) とすると (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) の (1) 日あたりの仕事は

[
\mathrm{A}\ \cdots\ 1\div{6}=\dfrac{1}{6}\
\mathrm{B}\ \cdots\ 1\div{9}=\dfrac{1}{9}
]

となる. (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) がいっしょに仕事をすると, (1) 日あたり

\begin{eqnarray}
&&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}\
&=&\dfrac{3}{18}+\dfrac{2}{18}\
&=&\dfrac{5}{18}
\end{eqnarray
}

(\dfrac{5}{18}) の仕事になる.よって (\mathrm{A}) , (\mathrm{B}) がいっしょに仕事をすると

[
1\div\dfrac{5}{18}=\dfrac{18}{5}=3.6
]

(3.6) 日かかる.ここで (3.6) 日は (3) 日より長いから, (4) 日かかることになる.

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(3) 番目の問題のように,かかる日数に小数がついてしまう場合は切り上げます.例えば

\begin{eqnarray}
4.5\text{日}\ &\to&\ 5\text{日}\
6.8\text{日}\ &\to&\ 7\text{日}
\end{eqnarray
}

とします.

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