「微分積分って何ですか?」という質問に答えるとこうなる

「微分ってなんですか?」と聞かれたらなんと答えますか? 私もうまく説明できないですが、聞かれたらいつも「速度を求めることだよ」と答えています。

数学はいかに現実的な比喩で説明するかが勝負だと思います。難しい数式を処理することも大切ですが、こうした抽象的な問いをわかりやすく説明する力も同じくらい重要で、自分の力になる気がします。

ひよこのイラスト

微分は速度を求めること

微分は力学と同じ時期に生まれたので、微分と速度は切っても切れない関係にあります。それはともかく、距離を時間で割ったら速度が出ますよね。でも、速度がいつも変わっていたら、単純に割っても平均速度が出るだけで、その瞬間の速度は出ないわけですよ。

平均速度は30km/hでも、あるときは40km/hかもしれないし、あるときは5km/hしか出ていないかもしれない。自動車で走っているとき(に乗っているとき)を考えるとわかると思いますが、自動車の速度はそのつど変わっているわけで、私たちが計算できることといったら、トータルでどれだけの時間、どれだけの距離を走っているかというくらい。でもそれでは平均速度しか出ない。

平均速度ではなく、その瞬間の速度を求めたい、という問題を解決するのが微分です。

微分は、ある瞬間において、その時点からほんのちょっとの時間を考えて、そのわずかな時間で動いた距離を調べます。距離もわずかです。なぜならそもそも時間がわずかだからです。

そのわずかな距離をわずかな時間で割ると、そのわずかな時間における平均速度が出ます。これを数学では、その瞬間の速度としてしまうのです。これが微分です。なので、微分とは

距離÷時間=速度

という小学生で習うことを、難しくいっただけの概念といえますね。

ちなみに積分をわかりやすく説明するとこうなる

同じように積分も

速度×時間=距離

を真面目に難しく言っただけの概念といえます。

なぜ微分・積分はこんなに難しく、しかも重要なのか?

微分と積分の本質の一つは「局所的」という概念です。上で説明したように「微分は速度のことだよ。ただの割り算となんら変わりないよ」と言っているだけだと、実はまだ本質の一部にしかたどり着いていないことになる。

ここから話すことが、たぶん微分と積分の難しさと重要性につながると思いますが、微分と積分は問題を狭くとらえるところに本質があります。

平均速度という概念もよく考えると、いったいどの期間の平均なのかという問題がありますよね。いくらで割るのかという問題はあまり触れないわけです、小学校では。

速度を考える時間を、私たちがふだん考えている数時間、数分というレベルから、とても短い、ほとんど0に近い時間までもってくるわけです。対象を狭くするというところに、微分のうまみがあります。

よく考えると、この問題は、割り算の計算でいう「1÷0は一体何なのか?」という問題に似ています。これのよくわからない計算を、なんとなくはぐらかすのでなく、真正面から考えることが、微分の入り口なのです。

量子力学

書いているうちに量子力学のことが頭に浮かんできました。

アインシュタインは量子力学を好きじゃなかったという話があります。私は物理をあまり勉強していないので、なんとも言えないのですが、量子力学は宇宙でいうところの微分積分なのかもしれないですね。ミクロの世界で成り立つことは、私たちの目にしている世界と少し違うというのは、微分積分的に当たり前のことなのです。

というのも、微分積分では、三角関数のようななめらかな関数だけでなく、ところどころつながっていないような、不連続な関数とかも扱います。つながっていない関数も、全体的にはつながっていなくても、狭いところではつながっていて、そこだけで微分係数を求めることができるという場合もありますよね。

宇宙は、ひょっとしたら感性的な意味で、不連続のような気がしています。マクロ的に見るとなめらかな関数のようになめらかな現象としてとらえることができるが、ミクロ的には不連続で法則が通じないところが出てくる、という感じ。

だんだんタイトルとずれてきたので、話を終わりにします。

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