不定積分の公式と計算|高校数学Ⅱ

$x^2$ を微分すると $2x$ になる。このとき $x^2$ は $2x$ の積分であるという。

微分 … $x^2 \to 2x$
積分 … $2x \to x^2$

$x^2+1$ も $x^2+2$ も $x^2+100$ も微分すると $2x$ になる。つまり $2x$ の積分は

$2x \to x^2+C$
(Cは任意の数)

という形で表すことができる。Cを積分定数という。また、不定積分は $\displaystyle\int{dx}$ という記号で表す。

\[ \int 2xdx=x^2+C \]

この $\int$ という記号をインテグラルという。この中に積分したい関数と $dx$ を入れる。この $dx$ は「積分しますよ」というおまじないと考えよう。

これまでの説明をまとめると、 $F^{\prime}(x)=f(x)$ のとき $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分といい

\[ \int f(x)dx=F(x)+C \]

ということになる。

不定積分の基本公式 $1$

$x^n$ の不定積分は $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ である。すなわち

\[ \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \]

である。実際

\[ \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\right)^{\prime}=(n+1)\frac{x^n}{n+1}=x^n \]

となるから正しい。以下の式を見て公式を確認しよう。

\[ \int x dx=\frac{x^2}{2}+C\\ \int x^{2} dx=\frac{x^3}{3}+C\\ \int x^{3} dx=\frac{x^4}{4}+C\\ \int x^{4} dx=\frac{x^5}{5}+C\\ \int x^{5} dx=\frac{x^6}{6}+C \]

不定積分の基本公式 $2$

不定積分も微分と同じように定数のかけ算とたし算をくくり出すことができる。 $a,\ b$ を実数、 $f,\ g$ を関数とするとき

\[ \int \{af(x)+bg(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx \]

となる。例えば

\begin{eqnarray*} &&\int(2x+3x^2)dx\\ &=&2\int xdx+3\int x^2 dx\\ &=&2\left(\dfrac{x^2}{2}+C_1\right)+3\left(\dfrac{x^3}{3}+C_2\right)\\ &=&x^2+x^3+2C_1+3C_2\\ &=&x^2+x^3+C \end{eqnarray*}

ここで $C_1,\ C_2$ をまとめて $C$ という積分定数にした。積分の基本公式を使っていろいろな不定積分を計算してみよう。

$\displaystyle\int 2xdx=x^2+C$ $\displaystyle\int 3x^2 dx=x^3+C$ $\displaystyle\int 4x^3 dx=x^4+C$ $\displaystyle\int(6x^2+2x)dx=2x^3+x^2$ $\displaystyle\int(-8x^3+3)dx=-2x^4+3x+C$ $\displaystyle\int(6x^2-4x-2)dx=2x^3-2x^2-2x+C$

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