おうぎ形の弧の長さ、面積、中心角の求め方と公式

おうぎ形

おうぎ形は円を切りとったものです。半分だけ切りとれば中心角は180度、さらに半分切りとれば中心角は90度になります。

おうぎ形の弧の長さと面積は上のプリントのように求めます。半径を$r$、中心角を$a^\circ$とします。

弧の長さ $l = 2 \pi r × \frac {a}{360^\circ}$

面積   $S = \pi r^2 × \frac {a}{360^\circ}$

問題

(1) 半径が$1cm$、中心角が$45^\circ$のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(2) 半径が$3cm$、中心角が$60^\circ$のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(3) 半径が$4cm$、中心角が$90^\circ$のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(4) 半径が$6cm$、中心角が$120^\circ$のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

(5) 半径が$8cm$、中心角が$180^\circ$のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

解答

(1)
弧の長さ $l = 2 \pi 1 × \frac {45^\circ}{360^\circ} = \frac {\pi}{4}$

面積   $S = \pi 1^2 × \frac {45^\circ}{360^\circ} = \frac {\pi}{8}$

(2)
弧の長さ $l = 2 \pi 3 × \frac {60^\circ}{360^\circ} = \pi$

面積   $S = \pi 3^2 × \frac {60^\circ}{360^\circ} = \frac {3 \pi}{2}$

(3)
弧の長さ $l = 2 \pi 4 × \frac {90^\circ}{360^\circ} = 2 \pi$

面積   $S = \pi 4^2 × \frac {90^\circ}{360^\circ} = 4 \pi$

(4)
弧の長さ $l = 2 \pi 6 × \frac {120^\circ}{360^\circ} = 6 \pi$

面積   $S = \pi 6^2 × \frac {120^\circ}{360^\circ} = 12 \pi$

(5)
弧の長さ $l = 2 \pi 8 × \frac {180^\circ}{360^\circ} = 8 \pi$

面積   $S = \pi 8^2 × \frac {180^\circ}{360^\circ} = 32 \pi$

おうぎ形の中心角の求め方と公式

おうぎ形2

中心角 $a = \frac {180l}{\pi r}$

問題

(1) 半径が$3cm$、弧の長さが$3 \pi cm$のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(2) 半径が$4cm$、弧の長さが$\pi cm$のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(3) 半径が$2cm$、弧の長さが$\frac {\pi}{2} cm$のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(4) 半径が$3cm$、弧の長さが$4 \pi cm$のおうぎ形の中心角を求めなさい。

(5) 半径が$6cm$、弧の長さが$9 \pi cm$のおうぎ形の中心角を求めなさい。

解答

(1)
中心角 $a = \frac {180・3 \pi}{\pi 3} = 180^\circ$

(2)
中心角 $a = \frac {180・\pi}{\pi 4} = 45^\circ$

(3)
中心角 $a = \frac {180・0.5 \pi}{\pi 2} = 45^\circ$

(4)
中心角 $a = \frac {180・4 \pi}{\pi 3} = 240^\circ$

(5)
中心角 $a = \frac {180・9 \pi}{\pi 6} = 270^\circ$