長針と短針が重なる時刻の求め方と中学受験の時計算の解法

時計算は長針と短針の「スピード」を理解するところから始まる。長針は1時間で360度動く。つまり1分で6度動く。一方、短針は12時間で360度動く。つまり1時間で30度、1分で0.5度動く。

分速(1分で進む角度)
長針 6度
短針 0.5度

例えば2時から3時までで長針と短針が重なる時刻を考える。2時ちょうど時点において長針と短針が60度離れていることに注意する。ここで長針は短針を追いかけるように進む。

1分で長針は6度、短針は0.5度進むので、1分で二つの針は5.5度近づくことになる。最初60度離れていたから、

[ 60 ÷ 5.5 = \frac {600}{55} = \frac {120}{11} = 10 \frac {10}{11} ]

分後に二つの針は重なる。つまり ( 2時10 \frac {10}{11}分) に重なる。

次に7時から8時までで長針と短針が重なる時刻を考える。同じように7時ちょうど時点において長針と短針が210度離れていることに注意する。二つの針は1分で5.5度近づくから、

[ 210 ÷ 5.5 = \frac {2100}{55} = \frac {420}{11} = 38 \frac {2}{11} ]

分後に二つの針は重なる。つまり ( 7時38 \frac {2}{11} 分) に重なる。

こうして計算すると長針と短針が重なる時刻は以下のようにまとめられる。

[ 0 時 0 分]
[ 1 時 5 \frac {5}{11} 分]
[ 2 時 10 \frac {10}{11} 分]
[ 3 時 16 \frac {4}{11} 分]
[ 4 時 21 \frac {9}{11} 分]
[ 5 時 27 \frac {3}{11} 分]
[ 6 時 32 \frac {8}{11} 分]
[ 7 時 38 \frac {2}{11} 分]
[ 8 時 43 \frac {7}{11} 分]
[ 9 時 49 \frac {1}{11} 分]
[ 10 時 54 \frac {6}{11} 分]
[ 0 時 0 分]
[ … ]

11時台はないことがポイント。半日に11回重なっていることがわかる。したがって1日に重なる回数は22回となる。

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