複素関数(複素解析)の定義と公式まとめ

初等関数

複素数のべき級数
[
\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n
]

オイラーの公式
[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
]

指数関数の定義
$z=x+iy$ とする。
[
e^{z}=e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})
]

三角関数の定義
[
\sin{z}=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\
\cos{z}=\dfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\
\tan{z}=\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}}\
\cot{z}=\dfrac{\cos{z}}{\sin{z}}\
\sec{z}=\dfrac{1}{\cos{z}}\
\csc{z}=\dfrac{1}{\sin{z}}
]

双曲線関数の定義
[
\sinh{z}=\dfrac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})\
\cosh{z}=\dfrac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})\
\tanh{z}=\dfrac{\sinh{z}}{\cosh{z}}\
\coth{z}=\dfrac{\cosh{z}}{\sinh{z}}
]

複素関数の微分

複素関数の微分の定義
[
f' (z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
]

コーシー・リーマンの関係式
[
\left{
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}\
\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=-\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}
\end{array}
\right.
]
ただし
[
f(z)=u(x,\ y)+v(x,\ y)
]
とする。

複素関数の積分

コーシーの積分定理
単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $D$ 内部の閉曲線 $C$ 上の積分は $0$ になる。すなわち
[
\oint_C f(z)dz=0
]
である。

コーシーの積分公式
単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ は
[
f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi
]
と表せる。

グルサーの公式
単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $n$ 次導関数は
[
f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{(n+1)}}d\xi
]
と表せる。

留数
$f(z)$ が $z=z_0$ において $n$ 位の極を持つとき
[
\mathrm{Res}\ f(z0)=\dfrac{1}{(n-1)!}\lim{z\to z_0}\dfrac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}{(z-z_0)^{n}f(z)}
]
となる。

留数定理
領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ が閉曲線 $C$ の内部に特異点 $z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$ を持つとき
[
\ointC f(z)dz=2\pi i\sum{k=1}^{n}\mathrm{Res}\ f(z_k)
]
となる。

正則関数の性質

代数学の基本定理
$f(z)\in\mathbb{C}[z]$ について $f(z)=0$ の解が存在する。

リュービル(Liouville)の定理
領域 $|z|\lt\infty$ 上正則関数 $f(z)$ がある定数 $M$ について $|f(z)|\lt M$ であるとき $f(z)$ は定数関数である。すなわち
[
f(z)=k
]
となる複素数 $k$ が存在する。