共役複素数の意味と公式

$z=a+bi$ の共役を $\overline{z}=a-bi$ で表す。

特に $b=0$ のとき、すなわち複素数 $z$ が実数のとき、その共役は同じ $a$ となります。

1次の複素数と共役な複素数を求めなさい。

$(1)\ \ 3+2i$

$(2)\ \ 1-5i$

$(3)\ \ -9+4i$

$(4)\ \ -7-6i$

$(5)\ \ 2$

$(6)\ \ 3i$

$(7)\ \ -7i$

$(8)\ \ -i$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)\ \ 3-2i$

$(2)\ \ 1+5i$

$(3)\ \ -9-4i$

$(4)\ \ -7+6i$

$(5)\ \ 2$

$(6)\ \ -3i$

$(7)\ \ 7i$

$(8)\ \ i$

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$(5)$ に注意。実数の共役は同じです。

共役複素数の基本的な性質

例えば $z=3+2i$ の共役複素数 $\overline{z}=3-2i$ を考える。

① $z+\overline{z}=(3+2i)+(3-2i)=6$

② $z-\overline{z}=(3+2i)-(3-2i)=4i$

となる。つまり複素数とその共役を足すと実数になり、引くと純虚数になる。

① 複素数とその共役複素数の和は実数 ② 複素数とその共役複素数の差は純虚数

共役複素数の公式

$z=a+bi$ とする \[ (1)\ \ z\cdot\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2 \\ \] \[ (2)\ \ \overline{z+\omega}=\overline{z}+\overline{\omega} \\ \] \[ (3)\ \ \overline{z\cdot\omega}=\overline{z}\cdot\overline{\omega} \\ \] \[ (4)\ \ \overline{\left(\frac{z}{\omega}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{\omega}} \]

これらの公式は一度自分で証明することをおすすめします。