複素数の分数の実数化(分母の有理化の複素数版)

$\dfrac{2+i}{2-i}$ など、分母が複素数になっている分数は基本的に実数化(複素数を実数にすること)します。考え方は平方根の有理化と同じです。

\[ \frac{c+di}{a+bi} = \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{(c+di)(a-bi)}{a^2+b^2} \\ \frac{c+di}{a-bi} = \frac{(c+di)(a+bi)}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{(c+di)(a+bi)}{a^2+b^2} \]

例題

[
\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = -i
]

[
\frac{25}{3+4i} = \frac{25(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{25(3-4i)}{25} = 3-4i
]