複素数の累乗根の公式と性質

2016/5/19

Shinichiro Sakamoto

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0を除く複素数のn乗根はn個存在し、それらは複素数平面において原点を中心とする円の円周上にある。

n乗根の公式

式

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

のn乗根は

累乗根

z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\}

である。ただしk=0、1、2、…、n-1である。実際

証明

\left(r^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\}\right)^n \\
=r\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\}^n \\
=r\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n\right\} \\
=r\left\{\cos\left(\theta+2\pi k\right)+i\sin\left(\theta+2\pi k\right)\right\} \\
=r(\cos\theta+i\sin\theta)

となって公式が証明される。

公式の偏角からn乗根は等間隔に存在する。つまり隣りあう点の偏角が等しい。例えば1の12乗根は時計の文字のように30°ずつ離れている。


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