複素数の累乗根の公式と性質

$0$ を除く複素数の $n$ 乗根は $n$ 個存在し、それらは複素数平面において原点を中心とする円の円周上にある。

複素数の $n$ 乗根の公式

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ の $n$ 乗根は

\[ z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\} \]

である。ただし $k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$ 。

実際

[
\left(r^{\frac{1}{n}}\left{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right}\right)^n \
=r\left{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right}^n \
=r\left{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n\right} \
=r\left{\cos\left(\theta+2\pi k\right)+i\sin\left(\theta+2\pi k\right)\right} \
=r(\cos\theta+i\sin\theta)
]

となって公式が証明される。

複素数の $n$ 乗根の性質

公式を見てわかるように $n$ 乗根の絶対値は $r^{\frac{1}{n}}$ である。したがって $n$ 乗根は原点を中心とする円の円周上にある。

また公式の偏角 $\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi k}{n}$ から、 $n$ 乗根は等間隔に存在する(隣りあう点の偏角が等しい)。例えば $1$ の $12$ 乗根は時計の文字のように $30^\circ$ ずつ離れている。