具体例とベン図で理解するド・モルガンの法則|高校数学Ⅰ数と式(集合)

ド・モルガンの法則 $A,\ B$ を $U$ の部分集合とする。 \[ (1)\ \ \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \\ (2)\ \ \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} \]

※ $A$ が $U$ の部分集合であるとは $A$ に含まれるものがすべて $U$ にも含まれていること。

ド・モルガンの法則の例

[
U={1,\ 2,\ 3,\ 4} \
A={1,\ 2} \
B={1,\ 3}
]

とする( $A,\ B$ が $U$ の部分集合となっていることに注意。 $A$ に含まれるものがすべて $U$ にも含まれている)。

このとき

[
\left{
\begin{array}{l}
A \cup B={1,\ 2, \ 3} \
\overline{A \cup B}={4}
\end{array}
\right.
]

[
\left{
\begin{array}{l}
\overline{A}={3,\ 4} \
\overline{B}={2,\ 4} \
\overline{A} \cap \overline{B}={4}
\end{array}
\right.
]

[
\therefore\ \ \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}
]

となり、公式の $(1)$ が成り立っていることがわかる。また

[
\left{
\begin{array}{l}
A \cap B={1} \
\overline{A \cap B}={2,\ 3,\ 4}
\end{array}
\right.
]

[
\left{
\begin{array}{l}
\overline{A}={3,\ 4} \
\overline{B}={2,\ 4} \
\overline{A} \cup \overline{B}={2,\ 3,\ 4}
\end{array}
\right.
]

[
\therefore\ \ \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}
]

となり、公式の $(2)$ が成り立っていることがわかる。

ド・モルガンの法則とベン図

[
U={1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ 14,\ 15,\ 16} \
A={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 11,\ 12,\ 13} \
B={7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 17,\ 18,\ ,19,\ 20}
]

とする。図で表すと

de-morgan-u de-morgan-a de-morgan-b

となる。

すると $A \cup B,\ \overline{A},\ \overline{B},\ \overline{A} \cap \overline{B}$ は以下のようになる。

de-morgan-a-or-b de-morgan-a-not de-morgan-b-not de-morgan-nota-and-notb

$A \cup B$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ の図がちょうど反転している。これは $A \cup B$ の否定、つまり $\overline{A \cup B}$ が $\overline{A} \cap \overline{B}$ に一致することを意味する。

2つの条件の否定(ド・モルガンの法則の応用)

ド・モルガンの法則の応用として2つの条件の否定に関する法則がある。

条件の否定の法則 $p,\ q$ を条件とする。 \[ (1)\ \ \overline{p \lor q}=\overline{p} \land \overline{q} \\ (2)\ \ \overline{p \land q}=\overline{p} \lor \overline{q} \] ※ $\lor$ : 「または」、 $\land$ : 「かつ」

例えば

$p$ : $x$ は $0$ より大きい
$q$ : $x$ は $10$ より小さい

としよう。すると

$p \land q$ : $x$ は $0$ より大きく、かつ $10$ より小さい
$\overline{p \land q}$ : $x$ は $0$ 以下か、または $10$ 以上

$\overline{p}$ : $x$ は $0$ 以下
$\overline{q}$ : $x$ は $10$ 以上
$\overline{p} \lor \overline{q}$ : $x$ は $0$ 以下か、または $10$ 以上

となり、法則の $(2)$ が成り立っていることがわかる。

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