微分と導関数の基本(平均変化率と微分係数から公式を理解する)

微分は関数の変化率を求めるものです。変化率(特に平均変化率)とは、xがこれだけ変化したときにyはこれだけ変化するという割合をいいます。

xを時間、yを距離と考えると変化率は速度を表します。変化率が大きいとき、xが少し変化するだけでyは大きく変化します。反対に変化率が小さいとき、xが大きく変化してもyはわずかしか変化しない。

平均変化率

関数の平均変化率は次のように考えます。

平均変化率のグラフ

平均変化率を求める

下図のようにb点をa点に近づけると、平均変化率はaでの変化率に近づきます。

平均変化率の極限

x=3の変化率

x=aの変化率

例題

導関数

導関数の定義

導関数の例

一次関数と定数の導関数

一般形

導関数から変化率を求める

変化率

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