導関数の公式と微分の計算問題

微分は関数の変化の度合いを調べるために使います。そして「関数の変化の度合い」を調べることを微分といい、関数を微分した関数を導関数と呼びます。数Ⅱでは多項式の微分と導関数を扱います。三角関数や指数関数の微分は出てきません。まずは $x^2$ などの単純な関数の微分から考えてみましょう。

$n$ を正の整数、$c$ を定数とする ① $x^{n}$ を微分すると $nx^{n-1}$ ② $c$ を微分すると $0$ つまり二次関数を微分すると一次関数に、一次関数を微分すると定数に、定数を微分すると $0$ になる

1次の関数を微分しなさい.

((1)) (x^2)

((2)) (x^3)

((3)) (x^4)

((4)) (x^5)

((5)) (x)

((6)) (2)

((7)) (3.14)

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1

((1)) (2x)

((2)) (3x^2)

((3)) (4x^3)

((4)) (5x^4)

((5)) (1)

((6)) (0)

((7)) (0)

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続いて $3x^2$ などの係数のついた微分を扱います。

$n$ を正の整数、$a$ を定数とする $ax^{n}$ を微分すると $anx^{n-1}$ ※係数 $a$ を後でかけるというイメージ

2次の関数を微分しなさい。

(1) $5x^2$

(2) $-9x^4$

(3) $2x$

(4) $\dfrac{1}{3}x^6$

(5) $-\dfrac{3}{4}x^8$

(6) $\dfrac{7}{9}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

(1) $10x$

(2) $-36x^3$

(3) $2$

(4) $2x^5$

(5) $-6x^7$

(6) $0$

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最後に $4x^3 + 7x^2$ といった二つ以上の項がある関数の微分を扱います。これはそれぞれの項を上と同じように微分し、後でつなげるというやり方をとります。

$4x^3 + 7x^2$ を微分する方法 ① $4x^3 + 7x^2$ を $4x^3$ と $7x^2$ に分ける ② $4x^3$ を微分して $12x^2$ にする ③ $7x^2$ を微分して $14x$ にする ④ $12x^2$ と $14x$ を足して $12x^2+14x$ にする $4x^3 - 7x^2$ を微分する方法 ① $4x^3 - 7x^2 = 4x^3 + (-7x^2)$ を $4x^3$ と $-7x^2$ に分ける ② $4x^3$ を微分して $12x^2$ にする ③ $-7x^2$ を微分して $-14x$ にする ④ $12x^2$ と $-14x$ を足して $12x^2-14x$ にする

3次の関数を微分しなさい。

(1) $6x^2 + 9x$

(2) $3x^2 - 5x + 3$

(3) $-2x^2 + 4x - 1$

(4) $\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + 4$

(5) $\dfrac{1}{8}x - \dfrac{3}{8}$

(6) $0.5x + 0.3$

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3

(1) $12x + 9$

(2) $6x - 5$

(3) $-4x + 4$

(4) $x + 3$

(5) $\dfrac{1}{8}$

(6) $0.5$

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