導関数の公式と微分の計算問題

微分は関数の変化の度合いを調べるために使います。そして「関数の変化の度合い」を調べることを微分といい、関数を微分した関数を導関数と呼びます。数Ⅱでは多項式の微分と導関数を扱います。三角関数や指数関数の微分は出てきません。まずは $x^2$ などの単純な関数の微分から考えてみましょう。

$n$ を正の整数、$c$ を定数とする

① $x^{n}$ を微分すると $nx^{n-1}$
② $c$ を微分すると $0$

つまり二次関数を微分すると一次関数に、一次関数を微分すると定数に、定数を微分すると $0$ になる

問題

次の関数を微分しなさい。

((1))　(x^2)

((2))　(x^3)

((3))　(x^4)

((4))　(x^5)

((5))　(x)

((6))　(2)

((7))　(3.14)

解答

((1))　(2x)

((2))　(3x^2)

((3))　(4x^3)

((4))　(5x^4)

((5))　(1)

((6))　(0)

((7))　(0)

係数のついた関数の微分

続いて $3x^2$ などの係数のついた微分を扱います。

$n$ を正の整数、$a$ を定数とする

$ax^{n}$ を微分すると $anx^{n-1}$

※係数 $a$ を後でかけるというイメージ

問題

(1)　$5x^2$

(2)　$-9x^4$

(3)　$2x$

(4)　$\dfrac{1}{3}x^6$

(5)　$-\dfrac{3}{4}x^8$

(6)　$\dfrac{7}{9}$

解答

(1)　$10x$

(2)　$-36x^3$

(3)　$2$

(4)　$2x^5$

(5)　$-6x^7$

(6)　$0$

多項式の微分

最後に $4x^3 + 7x^2$ といった二つ以上の項がある関数の微分を扱います。これはそれぞれの項を上と同じように微分し、後でつなげるというやり方をとります。

$4x^3 + 7x^2$ を微分する方法

① $4x^3 + 7x^2$ を $4x^3$ と $7x^2$ に分ける
② $4x^3$ を微分して $12x^2$ にする
③ $7x^2$ を微分して $14x$ にする
④ $12x^2$ と $14x$ を足して $12x^2+14x$ にする

$4x^3 - 7x^2$ を微分する方法

① $4x^3 - 7x^2 = 4x^3 + (-7x^2)$ を $4x^3$ と $-7x^2$ に分ける
② $4x^3$ を微分して $12x^2$ にする
③ $-7x^2$ を微分して $-14x$ にする
④ $12x^2$ と $-14x$ を足して $12x^2-14x$ にする

問題

次の関数を微分しなさい。

(1)　$6x^2 + 9x$

(2)　$3x^2 - 5x + 3$

(3)　$-2x^2 + 4x - 1$

(4)　$\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + 4$

(5)　$\dfrac{1}{8}x - \dfrac{3}{8}$

(6)　$0.5x + 0.3$

解答

(1)　$12x + 9$

(2)　$6x - 5$

(3)　$-4x + 4$

(4)　$x + 3$

(5)　$\dfrac{1}{8}$

(6)　$0.5$