n角形の対角線の本数の公式とその証明

$n$ 角形の対角線の本数は \[ \dfrac{1}{2} \times n \times (n-3) \] である。

例えば $4$ 角形の対角線は $2$ 本であるが、上の公式の $n$ に $4$ を入れると

[
\dfrac{1}{2} \times 4 \times (4-3)=2
]

となり、公式が正しいことがわかる。

公式を用いると $4$ 角形から $12$ 角形までの対角線の本数は以下のようになる。

n角形 対角線の本数
4角形 2本
5角形 5本
6角形 9本
7角形 14本
8角形 20本
9角形 27本
10角形 35本
11角形 44本
12角形 54本

「 $n$ 角形の対角線の本数の公式」の証明

$n$ 角形の $2$ つの頂点を選ぶと、辺または対角線ができる。つまり

辺の本数 $+$ 対角線の本数 $=$ ${}_n C _2$

である。辺の本数は $n$ 本であるから

(対角線の本数)
[
={}_n C _2-n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-1)-n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-1)-\dfrac{1}{2} \times 2 \times n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times \left{(n-1)-2\right} \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-3)
]
となる。