中1数学 分配法則(正負の数の計算の応用)

例えば

[
3 \times (5+2)
]

を考える。かけ算とカッコのある式はカッコを先に計算するから

\begin{eqnarray}
3 \times (5+2) &=& 3 \times 7 \
&=& 21
\end{eqnarray
}

となる。しかしこれを次のように計算することもできる。

\begin{eqnarray}
3 \times (5+2) &=& 3 \times 5+3 \times 2 \
&=& 15-6 \
&=& 21
\end{eqnarray
}

答えは同じ $21$ になる。かけ算とカッコのある式は上のようにカッコを外すことができる。なお引き算も同様である。

\begin{eqnarray}
3 \times (5-2) &=& 3 \times 3 \
&=& 9
\end{eqnarray
}

と計算しても

\begin{eqnarray}
3 \times (5-2) &=& 3 \times 5-3 \times 2 \
&=& 15-6 \
&=& 9
\end{eqnarray
}

と計算しても答えは同じ $9$ になる。

以上をまとめると次の公式が導かれる。

分配法則 \[ a \times (b+c)=a \times b+a \times c \\ a \times (b-c)=a \times b-a \times c \]

分配法則の公式を使うと一見複雑な計算も簡単に求められる。

例えば

[
12 \times \left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}\right)
]

という問題を考える。これはそのまま計算すると

\begin{eqnarray}
12 \times \left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}\right) &=& 12 \times \left(\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12}\right) \
&=& 12 \times \dfrac{13}{12} \
&=& 13
\end{eqnarray
}

となるが、分配法則を使うと

\begin{eqnarray}
12 \times \left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}\right) &=& 12 \times \dfrac{5}{6}+12 \times \dfrac{1}{4} \
&=& 10+3 \
&=& 13
\end{eqnarray
}

となる。分配法則を使わない普通の手順では分数を通分する手間がかかるが、分配法則を使うとその手間がなくなる。無用な計算ミスを減らす意味でも分配法則はかなり有効である。

分配法則の練習問題(カッコを外す問題)

1分配法則を用いて次の計算をしなさい。

[
(1)\ \ 15 \times \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)
]

[
(2)\ \ 32 \times \left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{15}{16}\right)
]

[
(3)\ \ 18 \times \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{2}\right)
]

[
(4)\ \ 20 \times \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\right)
]

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$

\begin{eqnarray}
15 \times \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) &=& 15 \times \dfrac{1}{3}-15 \times \dfrac{1}{5} \
&=& 5-3 \
&=& 2
\end{eqnarray
}

$(2)$

\begin{eqnarray}
32 \times \left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{15}{16}\right) &=& 32 \times \dfrac{3}{8}+32 \times \dfrac{15}{16} \
&=& 12+30 \
&=& 42
\end{eqnarray
}

$(3)$

\begin{eqnarray}
18 \times \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{2}\right) &=& 18 \times \dfrac{1}{6}-18 \times \dfrac{3}{2} \
&=& 3-27 \
&=& -24
\end{eqnarray
}

$(4)$

\begin{eqnarray}
20 \times \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}\right) &=& 20 \times \dfrac{4}{5}-20 \times \dfrac{1}{2} \
&=& 16-10 \
&=& 6
\end{eqnarray
}

[/su_spoiler]
[/su_accordion]

分配法則を用いてカッコにまとめるやり方

例えば

[
32 \times 21-32 \times 19
]

という問題を考える。これはそのまま計算すると

\begin{eqnarray}
32 \times 21-32 \times 19 &=& 672-608 \
&=& 64
\end{eqnarray
}

となるが、分配法則を使うと

\begin{eqnarray}
32 \times 21-32 \times 19 &=& 32 \times (21-19) \
&=& 32 \times 2 \
&=& 64
\end{eqnarray
}

と簡単に計算できる。かけ算の和または差の式に同じ数があるときは、上のようにカッコにまとめると簡単になる場合が多い。

分配法則の練習問題(カッコにまとめる問題)

1分配法則を用いて次の計算をしなさい。

[
(1)\ \ 99 \times 23-99 \times 22
]

[
(2)\ \ 31 \times 62+31 \times 38
]

[
(3)\ \ 25 \times 102-25 \times 104
]

[
(4)\ \ 3.14 \times 16-3.14 \times 12
]

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$

\begin{eqnarray}
99 \times 23-99 \times 22 &=& 99 \times (23-22) \
&=& 99 \times 1 \
&=& 99
\end{eqnarray
}

$(2)$

\begin{eqnarray}
31 \times 62+31 \times 38 &=& 31 \times (62+38) \
&=& 31 \times 100 \
&=& 3100
\end{eqnarray
}

$(3)$

\begin{eqnarray}
25 \times 102-25 \times 104 &=& 25 \times (102-104) \
&=& 25 \times (-2) \
&=& -50
\end{eqnarray
}

$(4)$

\begin{eqnarray}
3.14 \times 16-3.14 \times 12 &=& 3.14 \times (16-12) \
&=& 3.14 \times 4 \
&=& 12.56
\end{eqnarray
}

[/su_spoiler]
[/su_accordion]