ボイル・シャルルの法則と気体の状態方程式

気体の圧力と体積と温度の関係を表す式を気体の状態方程式という。状態方程式はボイル・シャルルの法則(ボイルの法則、シャルルの法則)から証明できる。

気体の圧力を $p\ [\mathrm{Pa}]$ 、体積を $V\ [\mathrm{m^{3}}]$ 、温度を $T\ [\mathrm{K}]$ 、物質量を $n\ [\mathrm{mol}]$ とする。

圧力  $p\ [\mathrm{Pa}]$
体積  $V\ [\mathrm{m^{3}}]$
温度  $T\ [\mathrm{K}]$
物質量 $n\ [\mathrm{mol}]$

また状態 $1$ と状態 $2$ における圧力、体積、温度、物質量を次のように表す。

圧力  $p_1,\ p_2$
体積  $V_1,\ V_2$
温度  $T_1,\ T_2$
物質量 $n$

※状態が変わっても物質量は変わらない。

ボイルの法則とシャルルの法則

ボイルの法則

\[ pV=k_1 \] ただし $k_1$ は定数。 状態1と状態2の変数を使うと

\[ p_1 V_1=p_2 V_2 \]

となる。

シャルルの法則 \[ V=k_2 T \]

ただし $k_2$ は定数。または

\[ \dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2} \]

ボイルの法則は圧力と体積の積が一定であること、シャルルの法則は体積が温度に比例することを意味する。 ## ボイルの法則の直感的な説明 ピストンに空気を入れて押しこめると、押しこめば押しこむほど、つまり容器内の気体の体積が小さくなればなるほど、押しづらくなる。 これはボイルの法則によって気体の体積が小さくなった分だけ気体の圧力が大きくなったからである。 手にこめる力が気体の圧力を超えないと押しこむことはできない。 ## シャルルの法則の直感的な説明 ピストン内にヨウ素などの色のついた気体を入れて、ピストン全体を温める。 するとピストンのふたの高さが少しずつ高くなり、ヨウ素の色もだんだん薄くなっていく。 これはシャルルの法則によって温度上昇とともに体積が大きくなったからである。体積は大きくなるが、物質量自体は変わらないため色が薄くなる。 ## ボイル・シャルルの法則

\[ \dfrac{pV}{T}=k_3 \] \[ \dfrac{p_1 V_1}{T_1}=\dfrac{p_2 V_2}{T_2} \]

ボイル・シャルルの法則はボイルの法則とシャルルの法則を組み合わせた法則である。上の式にある $k_3$ という定数は実は物質量とある定数の積になっている。これを示した式が気体の状態方程式である。

気体の状態方程式 \[ \dfrac{pV}{T}=nR \] ただし $R=8.31 \times 10^{3}\ \mathrm{Pa \cdot L/(K \cdot mol)}$ である。

気体の状態方程式に出てくる定数 $R$ を気体定数という。また気体の状態方程式は次のように書くことが多い。

気体の状態方程式 \[ pV=nRT \]

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