オイラーの公式とオイラーの等式|三角関数と指数関数の関係

2016/5/01

Shinichiro Sakamoto

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オイラーの公式

オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を表しています。オイラーの公式の θ を π にすると

オイラーの等式

となります。これをオイラーの等式といいます。

オイラーの公式の証明

オイラーの公式はマクローリン展開から証明します。

マクローリンの定理(マクローリン展開)
f(x) がすべての実数 x で何回でも微分できるとき、次の式が成り立つ。

マクローリン展開

このマクローリン展開を使うとC級である指数関数と三角関数は次のように展開できます。

指数関数と三角関数をマクローリン展開する

ex の展開式の x に iθ を代入すると

指数関数が三角関数の和になっている

となります。

コード

次の TeX コードは研究論文などで自由にお使いください。

\[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\]

\[
e^{i\pi}+1=0
\]

\[
f(x)=f(0)+\dfrac{f' (0)}{1!}x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots
\]

e^x &=& 1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots \\
\sin{\theta} &=& \theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots \\
\cos{\theta} &=& 1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots

e^{i\theta} &=& 1+\dfrac{i\theta}{1!}+\dfrac{(i\theta)^2}{2!}+\dfrac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots \\
&=& 1+i\dfrac{\theta}{1!}-\dfrac{\theta^2}{2!}-i\dfrac{\theta^3}{3!}+\cdots \\
&=& \left(1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots\right) \\
&=& \cos\theta+i\sin\theta

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