オイラーの公式とオイラーの等式|三角関数と指数関数の関係

オイラーの公式 \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を示す重要な公式です。オイラーの公式の $\theta$ に $\pi$ を代入すると

オイラーの等式 \[ e^{i\pi}+1=0 \]

が導かれます。

オイラーの公式の証明

オイラーの公式はマクローリン展開から証明できます。

マクローリンの定理(マクローリン展開) $f(x)$ がすべての実数 $x$ において何回でも微分できるとき \[ f(x)=f(0)+\dfrac{f' (0)}{1!}x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots \] が成り立つ。

このマクローリン展開を使うと指数関数 $e^x$ と三角関数 $\sin{\theta},\ \cos{\theta}$ は次のように展開できます。

[
e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}\
\ \ \ \ +\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots
]

[
\sin{\theta}=\theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots
]

[
\cos{\theta}=1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots
]

そして $e^x$ の展開式の $x$ に $i\theta$ を代入します。すると

[
e^{i\theta}=1+\dfrac{i\theta}{1!}+\dfrac{(i\theta)^2}{2!}+\dfrac{(i\theta)^3}{3!}\
\ \ \ \ +\dfrac{(i\theta)^4}{4!}+\dfrac{(i\theta)^5}{5!}+\dfrac{(i\theta)^6}{6!}+\cdots
]

[
e^{i\theta}=1+i\dfrac{\theta}{1!}-\dfrac{\theta^2}{2!}-i\dfrac{\theta^3}{3!}\
\ \ \ \ +\dfrac{\theta^4}{4!}+i\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots
]

[
e^{i\theta}=\left(1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)\
\ \ \ \ +i\left(\theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots\right)
]

[
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
]

となります。