オイラーの公式とオイラーの等式|三角関数と指数関数の関係
次をオイラーの公式といいます。
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]
オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を表しています。オイラーの公式の θ を π にすると
\[ e^{i\pi}+1=0 \]
となります。これをオイラーの等式といいます。
オイラーの公式の証明
オイラーの公式はマクローリン展開から証明します。
マクローリンの定理(マクローリン展開)
f(x) がすべての実数 x で何回でも微分できるとき、次の式が成り立つ。
\[ f(x)=f(0)+\dfrac{f' (0)}{1!}x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots \]
このマクローリン展開を使うとC∞級である指数関数と三角関数は次のように展開できます。
\[ e^x = 1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots \\ \sin{\theta} = \theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots \\ \cos{\theta} = 1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots \]
ex の展開式の x に iθ を代入すると
\[ e^{i\theta} \\ = 1+\dfrac{i\theta}{1!}+\dfrac{(i\theta)^2}{2!}+\dfrac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots \\ = 1+i\dfrac{\theta}{1!}-\dfrac{\theta^2}{2!}-i\dfrac{\theta^3}{3!}+\cdots \\ = \left(1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}-\dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots\right) \\ = \cos\theta+i\sin\theta \]
となります。
微分積分
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