三次式の展開と因数分解の公式と計算問題

三次式の展開は下のようになります。何回か自分で展開して計算すると覚えやすいでしょう。 $3$ 乗の展開は係数が $1,\ 3,\ 3,\ 1$ という順番に並んでいることに注意。

$3$ 次式の展開・因数分解公式 \[ (a+b)^{3}=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \] \[ (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}\\ (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3} \] \[ (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab)\\ =a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \]

1次の式を展開しなさい。

$(1)$ $(x+1)^{3}$

$(2)$ $(2x+3)^{3}$

$(3)$ $(x-2)^{3}$

$(4)$ $(3x-1)^{3}$

$(5)$ $(-x+3)^{3}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$
[
(x+1)^{3}\
=x^{3}+3x^{2}\cdot{1}+3x\cdot{1}^{2}+1^{3}\
=x^{3}+3x^{2}+3x+1
]

$(2)$
[
(2x+3)^{3}\
=(2x)^{3}+3(2x)^{2}\cdot{3}+3(2x)\cdot{3}^{2}+3^{3}\
=8x^{3}+36x^{2}+36x+27
]

$(3)$
[
(x-2)^{3}\
=x^{3}-3x^{2}\cdot{2}+3x\cdot{2}^{2}-2^{3}\
=x^{3}-6x^{2}+12x-8
]

$(4)$
[
(3x-1)^{3}\
=(3x)^{3}-3(3x)^{2}\cdot{1}+3(3x)\cdot{1}^{2}-1^{3}\
=27x^{3}-27x^{2}+9x-1
]

$(5)$
[
(-x-3)^{3}\
=(-x)^{3}-3(-x)^{2}\cdot{3}+3(-x)\cdot{3}^{2}-3^{3}\
=-x^{3}+9x^{2}-27x-27
]

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2次の式を展開しなさい。

$(1)$ $(x+2)(x^{2}-2x+4)$

$(2)$ $(3x+4)(9x^{2}-12x+16)$

$(3)$ $(2x-5)(4x^{2}+10x+25)$

$(4)$ $(x-1)(x^{2}-x+1)$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

$(1)$ $x^{3}+8$

$(2)$ $27x^{3}+64$

$(3)$ $8x^{3}-125$

$(4)$ $x^{3}-1$

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3次の式を因数分解しなさい。

$(1)$ $x^{3}+64$

$(2)$ $8x^{3}+27$

$(3)$ $27x^{3}-1$

$(4)$ $8x^{3}+12x^{2}+6x+1$

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

3

$(1)$ $(x+4)(x^{2}-4x+16)$

$(2)$ $(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$

$(3)$ $(3x-1)(9x^{2}+3x+1)$

$(4)$ $(2x+1)^{3}$

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[/su_accordion]

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