指数法則と対数法則まとめ

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則。

参考:指数関数の方程式と不等式(解き方と計算問題)

指数法則

$a \gt 0,\ b \gt 0,\ m,\ n$ は実数とする。

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

$$
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
$$

$$
(a^{m})^{n}=a^{mn}
$$

$$
(ab)^{n}=a^{n}b^{n}
$$

$$
\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
$$

対数法則

$a \gt 0,\ a \neq 1,\ x \gt 0,\ y \gt 0$ とする。

$$
a^{\log_a{x}}=x
$$

$$
\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y}
$$

$$
\log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x}-\log_a{y}
$$

$$
\log_a{\frac{1}{x}}=-\log_a{x}
$$

$$
\log_a{x^n}=n\log_a{x}
$$

$$
\log_a{\sqrt[n]{x}}=\frac{\log_a{x}}{n}
$$

$$
\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}
$$

$$
\log_a{x}=\frac{1}{\log_x{a}}\ \ (x \neq 1)
$$

$$
\log_{\frac{1}{a}}{x}=-\log_a{x}
$$

指数から対数への変換

$2^{3}=8\quad\to\quad{3}=\log_{2}{8}$

$3^{2}=9\quad\to\quad{2}=\log_{3}{9}$

$2^{0}=1\quad\to\quad{0}=\log_{2}{1}$

$5^{0}=8\quad\to\quad{0}=\log_{5}{1}$

$3^{-3}=\dfrac{1}{27}\quad\to\quad{-3}=\log_{3}{\dfrac{1}{27}}$

$4^{-2}=\dfrac{1}{16}\quad\to\quad{-2}=\log_{4}{\dfrac{1}{16}}$

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}\quad\to\quad{3}=\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{8}}$

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}=\dfrac{1}{81}\quad\to\quad{4}=\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{81}}$

対数から指数への変換

$\log_{3}{27}=3 \quad\to\quad 3^{3}=27$

$\log_{2}{16}=4 \quad\to\quad 2^{4}=16$

$\log_{4}{1}=0 \quad\to\quad 4^{0}=1$

$\log_{9}{1}=0 \quad\to\quad 9^{0}=1$

$\log_{2}{\dfrac{1}{32}}=-5 \quad\to\quad 2^{-5}=\dfrac{1}{32}$

$\log_{7}{\dfrac{1}{49}}=-2 \quad\to\quad 7^{-2}=\dfrac{1}{49}$

$\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}}=2 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$

$\log_{\frac{1}{5}}{\dfrac{1}{125}}=3 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{5}\right)^3=\dfrac{1}{125}$