指数・対数関数の公式|指数法則と対数法則と底の変換公式の証明

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則をまとめました。

aのn乗とaのm乗をかけ算するとaのm+n乗になります。こうした法則を指数法則といいますが、指数法則は指数関数を勉強するうえで必要になる公式です。

指数法則の公式

aとbは0より大きいとする。mとnは任意の実数で、整数とはかぎらない。

指数法則一覧

aのn乗とaのm乗をかけ算するとaのm+n乗になり、aのn乗をaのm乗で割るとaのm-n乗になっています。かけ算が足し算、割り算が引き算になっていることに注意しましょう。

「aのm乗」のn乗はaのmn乗です。べき乗のべき乗は、べきのかけ算になります。

指数法則の例

上の指数法則が正しいことを具体的に確かめてみましょう。まずは指数の足し算から。

かけ算が足し算に変換される

2の肩に乗っている数はそれぞれ3と4で、128は2の7乗です。7は3+4であり、上の指数法則がきちんと成り立っていることがわかります。

割り算が引き算に変換される

2の肩に乗っている数はそれぞれ8と3で、64は2の5乗です。5は8-3です。もともとの数の割り算は、指数では引き算になることがわかります。

対数法則

aは0より大きく1でない実数。xとyは0より大きい任意の実数。

対数法則一覧

指数から対数への変換

指数から対数にする例

2^{3} &=& 8\quad\to\quad{3}=\log_{2}{8} \\
3^{2} &=& 9\quad\to\quad{2}=\log_{3}{9} \\
2^{0} &=& 1\quad\to\quad{0}=\log_{2}{1} \\
5^{0} &=& 8\quad\to\quad{0}=\log_{5}{1} \\
3^{-3} &=& \dfrac{1}{27}\quad\to\quad{-3}=\log_{3}{\dfrac{1}{27}} \\
4^{-2} &=& \dfrac{1}{16}\quad\to\quad{-2}=\log_{4}{\dfrac{1}{16}} \\
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} &=& \dfrac{1}{8}\quad\to\quad{3}=\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{8}} \\
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4} &=& \dfrac{1}{81}\quad\to\quad{4}=\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{81}}

対数から指数への変換

対数から指数にする例

\log_{3}{27} &=& 3 \quad\to\quad 3^{3}=27 \\
\log_{2}{16} &=& 4 \quad\to\quad 2^{4}=16 \\
\log_{4}{1} &=& 0 \quad\to\quad 4^{0}=1 \\
\log_{9}{1} &=& 0 \quad\to\quad 9^{0}=1 \\
\log_{2}{\dfrac{1}{32}} &=& -5 \quad\to\quad 2^{-5}=\dfrac{1}{32} \\
\log_{7}{\dfrac{1}{49}} &=& -2 \quad\to\quad 7^{-2}=\dfrac{1}{49} \\
\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}} &=& 2 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9} \\
\log_{\frac{1}{5}}{\dfrac{1}{125}} &=& 3 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{5}\right)^3=\dfrac{1}{125}

底の変換公式

次の式を底の変換公式という。

対数の底の変換公式

これは二つの対数法則から証明される。

重要な式

証明

二つの対数のかけ算

となり、両辺を log b で割って

対数の底の変換公式

となる。

a^{\log_a{x}} &=& x \\
\log_a{x^n} &=& n\log_a{x}

(\log_a{x})(\log_b{a}) &=& \log_b{a^{\log_a{x}}} \\
&=& \log_b{x}

LaTeXコード

指数法則

a^{m}a^{n} &=& a^{m+n} \\
\frac{a^{m}}{a^{n}} &=& a^{m-n} \\
(a^{m})^{n} &=& a^{mn} \\
(ab)^{n} &=& a^{n}b^{n} \\
\left(\frac{a}{b}\right)^{n} &=& \frac{a^{n}}{b^{n}}

対数法則

a^{\log_a{x}} &=& x \\
\log_a{xy} &=& \log_a{x}+\log_a{y} \\
\log_a{\frac{x}{y}} &=& \log_a{x}-\log_a{y} \\
\log_a{\frac{1}{x}} &=& -\log_a{x} \\
\log_a{x^n} &=& n\log_a{x} \\
\log_a{\sqrt[n]{x}} &=& \frac{\log_a{x}}{n} \\
\log_a{x} &=& \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \\
\log_a{x} &=& \frac{1}{\log_x{a}}\ \ (x \neq 1) \\
\log_{\frac{1}{a}}{x} &=& -\log_a{x}

参考

指数関数の方程式と不等式

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姓名判断

漢字辞典

色辞典

数の辞典

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