New サムネイル プログラミング言語の最短勉強法:目的を持つ・英語で調べる・オライリーの本を読む New サムネイル 合計・平均値・最大値・最小値・最頻値・分散・標準偏差を計算する(オンライン電卓) New サムネイル JavaScriptのfilterで配列から空要素(undefined)を除く:filter(B

指数・対数関数の公式|指数法則と対数法則と底の変換公式の証明

広告

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則をまとめました。

aのn乗とaのm乗をかけ算するとaのm+n乗になります。こうした法則を指数法則といいますが、指数法則は指数関数を勉強するうえで必要になる公式です。

指数法則の公式

aとbは0より大きいとする。mとnは任意の実数で、整数とはかぎらない。

指数法則一覧

aのn乗とaのm乗をかけ算するとaのm+n乗になり、aのn乗をaのm乗で割るとaのm-n乗になっています。かけ算が足し算、割り算が引き算になっていることに注意しましょう。

「aのm乗」のn乗はaのmn乗です。べき乗のべき乗は、べきのかけ算になります。

指数法則の例

上の指数法則が正しいことを具体的に確かめてみましょう。まずは指数の足し算から。

かけ算が足し算に変換される

2の肩に乗っている数はそれぞれ3と4で、128は2の7乗です。7は3+4であり、上の指数法則がきちんと成り立っていることがわかります。

割り算が引き算に変換される

2の肩に乗っている数はそれぞれ8と3で、64は2の5乗です。5は8-3です。もともとの数の割り算は、指数では引き算になることがわかります。

対数法則

aは0より大きく1でない実数。xとyは0より大きい任意の実数。

対数法則一覧

指数から対数への変換

指数から対数にする例

2^{3} &=& 8\quad\to\quad{3}=\log_{2}{8} \\
3^{2} &=& 9\quad\to\quad{2}=\log_{3}{9} \\
2^{0} &=& 1\quad\to\quad{0}=\log_{2}{1} \\
5^{0} &=& 8\quad\to\quad{0}=\log_{5}{1} \\
3^{-3} &=& \dfrac{1}{27}\quad\to\quad{-3}=\log_{3}{\dfrac{1}{27}} \\
4^{-2} &=& \dfrac{1}{16}\quad\to\quad{-2}=\log_{4}{\dfrac{1}{16}} \\
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} &=& \dfrac{1}{8}\quad\to\quad{3}=\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{8}} \\
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4} &=& \dfrac{1}{81}\quad\to\quad{4}=\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{81}}

対数から指数への変換

対数から指数にする例

\log_{3}{27} &=& 3 \quad\to\quad 3^{3}=27 \\
\log_{2}{16} &=& 4 \quad\to\quad 2^{4}=16 \\
\log_{4}{1} &=& 0 \quad\to\quad 4^{0}=1 \\
\log_{9}{1} &=& 0 \quad\to\quad 9^{0}=1 \\
\log_{2}{\dfrac{1}{32}} &=& -5 \quad\to\quad 2^{-5}=\dfrac{1}{32} \\
\log_{7}{\dfrac{1}{49}} &=& -2 \quad\to\quad 7^{-2}=\dfrac{1}{49} \\
\log_{\frac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}} &=& 2 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9} \\
\log_{\frac{1}{5}}{\dfrac{1}{125}} &=& 3 \quad\to\quad \left(\dfrac{1}{5}\right)^3=\dfrac{1}{125}

底の変換公式

次の式を底の変換公式という。

対数の底の変換公式

これは二つの対数法則から証明される。

重要な式

証明

二つの対数のかけ算

となり、両辺を log b で割って

対数の底の変換公式

となる。

a^{\log_a{x}} &=& x \\
\log_a{x^n} &=& n\log_a{x}

(\log_a{x})(\log_b{a}) &=& \log_b{a^{\log_a{x}}} \\
&=& \log_b{x}

LaTeXコード

指数法則

a^{m}a^{n} &=& a^{m+n} \\
\frac{a^{m}}{a^{n}} &=& a^{m-n} \\
(a^{m})^{n} &=& a^{mn} \\
(ab)^{n} &=& a^{n}b^{n} \\
\left(\frac{a}{b}\right)^{n} &=& \frac{a^{n}}{b^{n}}

対数法則

a^{\log_a{x}} &=& x \\
\log_a{xy} &=& \log_a{x}+\log_a{y} \\
\log_a{\frac{x}{y}} &=& \log_a{x}-\log_a{y} \\
\log_a{\frac{1}{x}} &=& -\log_a{x} \\
\log_a{x^n} &=& n\log_a{x} \\
\log_a{\sqrt[n]{x}} &=& \frac{\log_a{x}}{n} \\
\log_a{x} &=& \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \\
\log_a{x} &=& \frac{1}{\log_x{a}}\ \ (x \neq 1) \\
\log_{\frac{1}{a}}{x} &=& -\log_a{x}

参考

指数関数の方程式と不等式

指数法則を動画でわかりやすく解説しました。ぜひご覧ください。

広告

広告

広告

コンピューター コンピューター
プログラミング プログラミング
数学 数学
英語 英語
国語 国語
理科 理科
社会 社会

Python入門

Python入門

化学入門

化学入門

漢字辞典

漢字辞典

整数辞典

漢字辞典

Lord Candy

Lord Candy