指数関数の方程式と不等式(解き方と計算問題)

指数関数の方程式(指数方程式)はべき指数を比較して解きます.例えば $3^{x}=9$ という方程式は $3^{x}=3^{2}$ と変えて,べき指数($3$ の肩に乗っている数)を比較して $x=2$ を導きます.

また指数関数の不等式(指数不等式)もべき乗を比較して解きますが,指数関数の底($a^{x}$ でいう $a$)が $1$ より大きいか小さいかで,不等号の向きが変わることに注意しましょう.

以下の例を見てください.

\[ 2^{x}\geqq{2^{3}}\quad\to\quad{x\geqq{3}} \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\geqq\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\quad\to\quad{x\leqq{3}} \]

指数不等式からべき指数の不等式にするときの符号は,底が $1$ より大きいときはそのまま,底が $1$ より小さいときは反対にします.

問題

$(1)$ $2^{x}=8$

$(2)$ $2^{x}=32$

$(3)$ $3^{x}=27$

$(4)$ $5^{x}=125$

$(5)$ $2^{x}=\dfrac{1}{4}$

$(6)$ $3^{x}=\dfrac{1}{9}$

$(7)$ $7^{x}=1$

解答

$(1)$ $3$

$(2)$ $5$

$(3)$ $3$

$(4)$ $3$

$(5)$ $-2$

$(6)$ $-2$

$(7)$ $0$

問題

$(1)$ $2^{x}\geq{64}$

$(2)$ $3^{x}\geq{81}$

$(3)$ $4^{x}\leq{16}$

$(4)$ $7^{x}\leq{1}$

$(5)$ $2^{x}\gt{2}$

$(6)$ $3^{x}\lt{27}$

$(7)$ $4^{x}\lt{1}$

解答

$(1)$ $x\geq{6}$

$(2)$ $x\geq{4}$

$(3)$ $x\leq{2}$

$(4)$ $x\leq{0}$

$(5)$ $x\gt{1}$

$(6)$ $x\lt{3}$

$(7)$ $x\lt{0}$

問題

$(1)$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{4}$

$(2)$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{8}$

$(3)$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=4$

$(4)$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=1$

$(5)$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=\dfrac{1}{81}$

$(6)$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=27$

$(7)$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=1$

解答

$(1)$ $x=2$

$(2)$ $x=3$

$(3)$ $x=-2$

$(4)$ $x=0$

$(5)$ $x=4$

$(6)$ $x=-3$

$(7)$ $x=0$

問題

$(1)$ $2^{2x-1}=32$

$(2)$ $2^{3x+2}=\dfrac{1}{2}$

$(3)$ $3^{-x+4}=9$

$(4)$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}=\dfrac{1}{16}$

$(5)$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x+1}=27$

$(6)$ $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}=\dfrac{1}{125}$

解答

$(1)$

\begin{eqnarray*} &&2x-1=5\\ &&x=3 \end{eqnarray*}

$(2)$

\begin{eqnarray*} &&3x+2=-1\\ &&x=-1 \end{eqnarray*}

$(3)$

\begin{eqnarray*} &&-x+4=2\\ &&x=2 \end{eqnarray*}

$(4)$

\begin{eqnarray*} &&x+1=4\\ &&x=3 \end{eqnarray*}

$(5)$

\begin{eqnarray*} &&-2x+1=-3\\ &&x=2 \end{eqnarray*}

$(6)$

\begin{eqnarray*} &&x-3=3\\ &&x=6 \end{eqnarray*}

応用問題

$(1)$ $\left(2^{x}\right)^{2}-3\cdot{2}^{x}-4=0$

$(2)$ $\left(3^{x}\right)^{2}-12\cdot{3}^{x}+27=0$

$(3)$ $2^{2x+1}-5\cdot{2}^{x}+2=0$

解答

$(1)$ $2^{x}=X$ とおくと,与式は

\[ X^{2}-3X-4=0\\ (X-4)(X+1)=0\\ X=-1,\ 4 \]

と変形できるため, $2^{x}=-1,\ 4$ となる. $2^{x}\gt{0}$ だから $2^{x}=4$ であり, $x=2$ となる.

$(2)$ $3^{x}=X$ とおくと,与式は

\[ X^{2}-12X+27=0\\ (X-3)(X-9)=0\\ X=3,\ 9 \]

と変形できる. $3^{x}=3,\ 9$ となるから, $x=1,\ 2$ である.

$(3)$ $2^{x}=X$ とおくと

\[ 2^{2x+1}-5\cdot{2}^{x}+2=0\\ 2\cdot\left(2^{x}\right)^{2}-5\cdot{2}^{x}+2=0\\ 2X^{2}-5X+2=0\\ (X-2)(2X-1)=0\\ X=\dfrac{1}{2},\ 2 \]

となる. $2^{x}=\dfrac{1}{2},\ 2$ より, $x=-1,\ 1$ となる.

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