指数関数の方程式と不等式（解き方と計算問題）

指数関数の方程式はべきを比べて解きます。$3^x=9$ は $3^x=3^2$ として、べきを比べて $x=2$ とします。

指数関数の不等式もべきを比べて解きますが、指数関数の底（$a^x$ でいう $a$）が $1$ より大きいか小さいかで、不等号の向きが変わります。

\[ 2^{x}\geqq{2^{3}}\quad\to\quad{x\geqq{3}} \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\geqq\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\quad\to\quad{x\leqq{3}} \]

底が $1$ より大きいときはそのまま、底が $1$ より小さいときは反対にする。

問題

\[ (1) 2^{x}=8 \\ (2) 2^{x}=32 \\ (3) 3^{x}=27 \\ (4) 5^{x}=125 \\ (5) 2^{x}=\dfrac{1}{4} \\ (6) 3^{x}=\dfrac{1}{9} \\ (7) 7^{x}=1 \]

解答

\[ (1) 3 \\ (2) 5 \\ (3) 3 \\ (4) 3 \\ (5) -2 \\ (6) -2 \\ (7) 0 \]

問題

\[ (1) 2^{x}\geq{64} \\ (2) 3^{x}\geq{81} \\ (3) 4^{x}\leq{16} \\ (4) 7^{x}\leq{1} \]

解答

\[ (1) x\geq{6} \\ (2) x\geq{4} \\ (3) x\leq{2} \\ (4) x\leq{0} \]

問題

\[ (1) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{4} \\ (2) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{8} \\ (3) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=4 \\ (4) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=1 \\ (5) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=\dfrac{1}{81} \\ (6) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=27 \\ (7) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=1 \]

解答

\[ (1) x=2 \\ (2) x=3 \\ (3) x=-2 \\ (4) x=0 \\ (5) x=4 \\ (6) x=-3 \\ (7) x=0 \]

問題

\[ (1) 2^{2x-1}=32 \\ (2) 2^{3x+2}=\dfrac{1}{2} \\ (3) 3^{-x+4}=9 \\ (4) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}=\dfrac{1}{16} \\ (5) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x+1}=27 \\ (6) \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}=\dfrac{1}{125} \]

解答

\[ (1) x=3 (2) x=-1 (3) x=2 (4) x=3 (5) x=2 (6) x=6 \]

応用問題

\[ (1) \left(2^{x}\right)^{2}-3\cdot{2}^{x}-4=0 \\ (2) \left(3^{x}\right)^{2}-12\cdot{3}^{x}+27=0 \]

解答

(1) 2^x = X とおくと

X² - 3X - 4 = 0
(X - 4)(X + 1) = 0
X = -1, 4
2^x = -1, 4

となる。2^x は 0 より大きいから 2^{x} = 4 であり x = 2 となる。

(2) 3^x = X とおくと

X² - 12X + 27 = 0
(X - 3)(X - 9) = 0
X = 3, 9

となる。x = 1, 2 である。