指数関数の方程式と不等式(解き方と計算問題)

指数関数の方程式はべきを比べて解きます。3x=9 は 3x=32 として、べきを比べて x=2 とします。

指数関数の不等式もべきを比べて解きますが、指数関数の底(ax でいう a)が 1 より大きいか小さいかで、不等号の向きが変わります。例を見てください。

不等式をべきの不等式にする

底が1より小さいときは不等号が逆になる

2^{x}\geqq{2^{3}}\quad\to\quad{x\geqq{3}}
\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\geqq\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\quad\to\quad{x\leqq{3}}

底が 1 より大きいときはそのまま、底が 1 より小さいときは反対にする。

問題

問題

解答

解答

\begin{flushleft}
(1) 2^{x}=8 \\
(2) 2^{x}=32 \\
(3) 3^{x}=27 \\
(4) 5^{x}=125 \\
(5) 2^{x}=\dfrac{1}{4} \\
(6) 3^{x}=\dfrac{1}{9} \\
(7) 7^{x}=1
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
(1) 3 \\
(2) 5 \\
(3) 3 \\
(4) 3 \\
(5) -2 \\
(6) -2 \\
(7) 0
\end{flushleft}

問題

問題

解答

解答

\begin{flushleft}
(1) 2^{x}\geq{64} \\
(2) 3^{x}\geq{81} \\
(3) 4^{x}\leq{16} \\
(4) 7^{x}\leq{1}
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
(1) x\geq{6} \\
(2) x\geq{4} \\
(3) x\leq{2} \\
(4) x\leq{0}
\end{flushleft}

問題

問題

解答

解答

\begin{flushleft}
(1) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{4} \\
(2) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=\dfrac{1}{8} \\
(3) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=4 \\
(4) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=1 \\
(5) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=\dfrac{1}{81} \\
(6) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=27 \\
(7) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=1
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
(1) x=2 \\
(2) x=3 \\
(3) x=-2 \\
(4) x=0 \\
(5) x=4 \\
(6) x=-3 \\
(7) x=0
\end{flushleft}

問題

問題

解答

(1) x=3
(2) x=-1
(3) x=2
(4) x=3
(5) x=2
(6) x=6

\begin{flushleft}
(1) 2^{2x-1}=32 \\
(2) 2^{3x+2}=\dfrac{1}{2} \\
(3) 3^{-x+4}=9 \\
(4) \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}=\dfrac{1}{16} \\
(5) \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2x+1}=27 \\
(6) \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-3}=\dfrac{1}{125}
\end{flushleft}

応用問題

応用問題

\begin{flushleft}
(1) \left(2^{x}\right)^{2}-3\cdot{2}^{x}-4=0 \\
(2) \left(3^{x}\right)^{2}-12\cdot{3}^{x}+27=0
\end{flushleft}

解答

(1) 2x = X とおくと

X2 - 3X - 4 = 0
(X - 4)(X + 1) = 0
X = -1, 4
2x = -1, 4

となる。2x は 0 より大きいから 2^{x} = 4 であり x = 2 となる。

(2) 3x = X とおくと

X2 - 12X + 27 = 0
(X - 3)(X - 9) = 0
X = 3, 9

となる。x = 1, 2 である。

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