試験に出やすい因数分解の有名な問題

因数分解は基本的に分配法則やたすき掛けを使って解きますが、中にはもっと独特なテクニックを要する問題があります。ここでは高次の式や三種類以上の文字が出てくる式の因数分解を中心に扱っていきます。

1次の式を因数分解しなさい。

(1) $x^4-16$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

(3) $x^4+x^2+1$

(4) $x^4+4$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

(1)
\begin{eqnarray}
(\mbox{与式}) & = & (x^2-4)(x^2+4) \
& = & (x-2)(x+2)(x^2+4)
\end{eqnarray}

(2)
\begin{eqnarray}
(\mbox{与式}) & = & (x+1)(x+4)\times(x+2)(x+3)-24 \
& = & (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24 \
& = & (x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24-24 \
& = & (x^2+5x)^2+10(x^2+5x) \
& = & (x^2+5x)(x^2+5x+10) \
& = & x(x+5)(x^2+5x+10)
\end{eqnarray}

(3)
\begin{eqnarray}
(\mbox{与式}) & = & x^4+x^2+1 \
& = & x^4+x^3-x^3+x^2+1 \
& = & x^4+x^3+x^2+1-x^3 \
& = & x^2(x^2+x+1)+1-x^3 \
& = & x^2(x^2+x+1)+(1-x)(x^2+x+1) \
& = & (x^2-x+1)(x^2+x+1)
\end{eqnarray}
※この問題は解き方を知っていないとかなり難しい。定期試験の前にこの問題と解き方は覚えることをおすすめします。因数分解の問題で最も難しい問題の一つです。

(4) $(x^2+2)^2=x^4+4x^2+4$ より
\begin{eqnarray}
(\mbox{与式}) & = & (x^2+2)^2-4x^2 \
& = & (x^2+2)^2-(2x)^2 \
& = & (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) \
& = & (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
\end{eqnarray}

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