フィボナッチ数列の定義と一般項と黄金比(フィボナッチ数列の隣接項の比は黄金比に収束する)

フィボナッチ数列とは、$1$ 番目の項を $1$、$2$ 番目の項を $1$ として、各項が前の項と前の前の項の和であるような数列のこと。すなわちフィボナッチ数列は

[
1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\cdots
]

である。

フィボナッチ数列の漸化式と一般項

フィボナッチ数列の漸化式 \[ a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} \]
フィボナッチ数列の一般項 \[ a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right\} \]

一般項を覚える必要はない。ただし「このような形だったかな」程度に覚えておくと入試本番などで役立つかもしれない。特に $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ という数は覚えよう。なぜならこの数字こそいわゆる黄金比だからだ。そしてフィボナッチ数列の隣り合う項の比もこの黄金比に近づいていく。これは入試で頻繁に出題されるテーマである。

フィボナッチ数列の隣り合う項の比は黄金比 $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \fallingdotseq 1.61803\cdots$ に収束する。

フィボナッチ数列 項÷前項(比)
1
1 1
2 2
3 1.5
5 1.666666667
8 1.6
13 1.625
21 1.615384615
34 1.619047619
55 1.617647059
89 1.618181818
144 1.617977528
233 1.618055556
377 1.618025751
610 1.618037135
987 1.618032787
1597 1.618034448
2584 1.618033813
4181 1.618034056
6765 1.618033963
10946 1.618033999
17711 1.618033985
28657 1.61803399
46368 1.618033988
75025 1.618033989
121393 1.618033989
196418 1.618033989
317811 1.618033989
514229 1.618033989
832040 1.618033989

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