分数の割り算は、どうして分子と分母をひっくり返すのか?

例えば

$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}$

を考えてみます。これは

$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{15}$

となりますが、そもそもなぜ分数の割り算は、分母と分子をひっくり返すのでしょうか?

分数の割り算を整数の掛け算と割り算に分解する

この謎は、分数を「整数÷整数」に表示することでわかります。

$\dfrac{2}{3}=2\div{3}$

$\dfrac{5}{7}=5\div{7}$

なので

$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}=(2\div{3})\div(5\div{7})$

となる。ここで「割り算の中にある割り算は掛け算になる」という法則があるので

$(2\div{3})\div(5\div{7})=2\div{3}\div{5}\times{7}$

となり

\[ \dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}\\ =(2\div{3})\div(5\div{7})\\ =2\div{3}\div{5}\times{7}\\ =2\div{3}\times{7}\div{5}\\ =(2\div{3})\times(7\div{5})\\ =\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{5} \]

となります。

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