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等比数列の一般項と和の公式

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等比数列は同じ数を次々にかけてできる数列である。例えば

\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \cdots \]

は初項 $2$、公比 $3$ の等比数列です。

\[ 6=2 \times 3 \\ 18=6 \times 3 \\ 54=18 \times 3 \\ \]

定義

例

等比数列の一般項

等比数列の一般項(n番目の数)は初項aにrのn-1乗をかけた数です。

一般項

等比数列の和の公式

等比数列の和の公式は 2 つあります。

\[ S_n=an \ (r=1) \]

\[ S_{n}=a\dfrac {1-r^{n}}{1-r} \ (r \neq 1) \]

それぞれの公式をくわしく考えよう。

等比数列の和の公式(公比が 1 のとき)

まずは公比が 1 のとき。つまり $r=1$ のとき、等比数列の和 $S_n$ は

\[ S_n=an \]

となる。ただし $a$ は等比数列の初項である。初項が $1$ のときは等比数列のすべての項が $a$ になるので、その和は $a$ を $n$ 倍した値になる。

和の公式1

等比数列の和の公式(公比が 1 でないとき)

等比数列の公比が 1 でないとき。

和の公式2

(追記中)

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