ベクトルの内積の定義からベクトルの大きさとなす角を求める

ベクトルの内積とは、ベクトルをもう一つのベクトルに射影した後の二つのベクトルの長さの積のことです。…という概念的な説明はともかく、まずは具体的な定義を見てみます。

ベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ のなす角を $\theta$ $(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ})$ として、$\vec{a}=(a_1,a_2)$ と $\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を次のように定義する。 \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

ベクトルの内積の定義は2つあります。

① $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$

② $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

どちらを使うかは問題による。ベクトルの大きさと角度がわかっていれば前者の定義、ベクトルの成分がわかっていれば後者の定義を使います。ベクトルの大きさと角度を使ってベクトルの成分を求めるという問題もあります。ベクトルの大きさと角度から内積を求めて、公式の逆をたどるようにベクトルの成分を求めるという問題です。

ベクトルの内積からベクトルの大きさを求める

内積の公式にあるベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a}$ にすると

[
\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}|\cos{0^{\circ}} = |\vec{a}|^2 = a_1 a_1 + a_2 a_2 = a_1^2 + a_2^2
]

となり

\[ |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} \]

であるとわかります。ベクトルの大きさはそのベクトルと同じベクトルの内積の平方根であるという性質はとても重要。

ベクトルの内積からベクトルのなす角を求める

ベクトルの内積の公式

[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} = a_1 b_1 + a_2 b_2
]

から

\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]

が導かれます。学校によってはこれも公式の一つとして扱います。

ベクトルの内積を求める問題

1次のベクトルの内積を求めなさい。

(1) $\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(4,5)$

(2) $\vec{a}=(-1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$

(3) $\vec{a}=(4,-3)$、$\vec{b}=(6,8)$

(4) $\vec{a}=(3,7)$、$\vec{b}=(9,-4)$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = -5$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 6 + (-3) \cdot 8 = 0$

(4) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 9 + 7 \cdot (-4) = -1$

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※ここで (3) の問題に注目。内積が $0$ となっていますが、実はこのとき $\vec{a}=(4,-3)$ と $\vec{b}=(6,8)$ は垂直関係にあり、なす角はちょうど $90^{\circ}$ になっています。なぜでしょうか?