整域の整閉性は局所化で保存する

※これはメモです。Atiyah MacDonald の命題5.13

整閉は局所化される。命題5.13を引用すると次のとおり(言葉を少し変えている)。

Aを整域とすると次の条件は同値である。

  1. Aは整閉
  2. 任意の素イデアルpについてApは整閉
  3. 任意の極大イデアルmについてAmは整閉

整閉は局所化で伝わり、しかも局所化された後の整閉性からもとの整閉性を判断できる。さらにそれは極大イデアルで十分である。

整閉は局所化で保存される性質の一つ。他に例えば加群の列L→M→Nの完全性や、A加群M、Nの準同型写像の単射性もAの素イデアルpの局所化で保存する(同書命題3.9)。加群の平坦性も。

これらの性質は基本的にもともとの環の性質で決まるもので、分数そのものの性質によらないからである。分母をとってもとらなくても、加群の完全性に影響しないことは明らかである。

参考: Atiyah MacDonald 「可換代数入門」(共立出版・新妻弘訳)

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