一次方程式の文章題の解き方(速さと道のり)

例題

姉と妹が家から公園に歩いて向かう。姉の歩く速さは毎分 $90\ \mathrm{m}$ 、妹の歩く速さは毎分 $75\ \mathrm{m}$ であり、妹が出発して $6$ 分後に姉が出発した。

$(1)$ 姉が出発して何分後に姉は妹に追いついたか。

$(2)$ 姉が妹に追いついた地点は家から何 $\mathrm{m}$ 離れているか。

解答

$(1)$

「姉が出発して何分後」という問題文に注意する。妹が出発してからの時間ではなく、姉が出発してからの時間を答える。姉が出発してから妹に追いつくまでの時間を $x$ 分とすると、妹は $(x+6)$ 分歩いたことになる。

姉 … $x$ 分歩いた
妹 … $(x+6)$ 分歩いた

よって姉と妹の歩いた距離は

姉 … $90x$
妹 … $75(x+6)$

である。姉と妹は結局同じ距離だけ歩いているから

\[ 90x=75(x+6)\\ 90x=75x+450\\ 15x=450\\ x=30 \]

姉は $30$ 分歩いたことになる。

$(2)$

姉は $30$ 分歩いたから

\[ 90\times{30}=2700 \]

歩いた距離は $2700\ \mathrm{m}$ となる。念のために妹でも計算すると、妹は $30+6=36$ 分歩いたから

\[ 75\times{36}=2700 \]

やはり $2700\ \mathrm{m}$ となる。姉と妹のどちらで計算しても同じ結果が出てくる。

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