一次関数のxとyの増加量と変化の割合を求める問題

例題 $1$ 次関数 $y=2x+5$ について、 $x$ の値が $3$ から $9$ まで増加したときの $y$ の増加量を求めなさい。

$y=2x+5$ に $x=3,\ 9$ を代入すると \[ 2\cdot{3}+5=11\\ 2\cdot{9}+5=23 \] となる。したがって $y$ の増加量は \[ 23-11=12 \] となる。

一次関数は $x$ が変化すると $y$ も変化します。上の例では

変数 最初 最後
x 3 9 6
y 11 23 12

となっており、 $x$ が $6$ 増えると $y$ は $12$ 増えています。

ここで変化の度合いについて考える。 $x$ が $6$ 増えると $y$ は $12$ 増えるということは、 $x$ が $1$ 増えると $y$ は $2(=12\div{6})$ 増えるということだから、この関数の「変化の割合」は $2$ となります。

変化の割合 $=$ $y$ の増加量 $\div$ $y$ の増加量

練習問題

1次の $1$ 次関数において $x$ がカッコ内の左から右に増加するとき $y$ の増加量を求めなさい。

例えば
[
y=2x+1\ \ (1,\ 3)
]
は $x$ が $1$ から $3$ まで増加したときの $y$ の増加量を求める。

$(1)$ $y=4x+5\ \ (2,\ 6)$

$(2)$ $y=x-2\ \ (-1,\ 3)$

$(3)$ $y=\dfrac{1}{2}x+6\ \ (4,\ 9)$

$(4)$ $y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{2}\ \ (-2,\ 4)$

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$
[
4\cdot{2}+5=13\
4\cdot{6}+5=29
]
より
[
29-13=16
]

$(2)$
[
1\cdot{(-1)}-2=-3\
1\cdot{3}-2=1
]
より
[
1-(-3)=4
]

$(3)$
[
\frac{1}{2}\cdot{4}+6=8\
\frac{1}{2}\cdot{9}+6=\frac{21}{2}
]
より
[
\frac{21}{2}-8=\frac{5}{2}
]

$(4)$
[
-\frac{5}{3}\cdot{(-2)}+\frac{1}{2}=\frac{23}{6}\
-\frac{5}{3}\cdot{4}+\frac{1}{2}=-\frac{37}{6}
]
より
[
-\frac{37}{6}-\frac{23}{6}=-\frac{60}{6}=10
]

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2次の $1$ 次関数において $x$ がカッコ内の左から右に増加するとき、変化の割合を求めなさい。

$(1)$ $y=4x+5\ \ (2,\ 6)$

$(2)$ $y=4x+5\ \ (-3,\ 5)$

$(3)$ $y=4x+5\ \ (0,\ 4)$

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$
[
4\cdot{2}+5=13\
4\cdot{6}+5=29
]
[
(29-13)\div{(6-2)}\
=16\div{4}\
=4
]

$(2)$
[
4\cdot{(-3)}+5=-7\
4\cdot{5}+5=25
]
[
(25-(-7))\div{(5-(-3))}\
=32\div{8}\
=4
]

$(3)$
[
4\cdot{0}+5=5\
4\cdot{4}+5=21
]
[
(21-5)\div{(4-0)}\
=16\div{4}\
=4
]

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[/su_accordion]

$1$ 次関数の変化の割合は $x$ の範囲によらない。

実はこの変化の割合は $1$ 次関数の $x$ についている数字に等しく、上の練習問題では $1$ 次関数が $y=4x+5$ であるため、変化の割合はいちいち計算しなくても $4$ であるとわかります。