一次関数のグラフの書き方(プロットのやり方、切片と傾きの意味)

(y=2x+1) のように (y=ax+b) という形をしている関数を一次関数という。

例えば (y=2x+1) は、 (x=0) のとき (y=1) となり、(x=1) のとき (y=3) となる。

[
2\cdot{0}+1=1\
2\cdot{1}+1=3
]

一次関数 (y=2x+1) の (x) にいろいろな値を入れて (x) と (y) の関係を調べてみよう。

\begin{array}{|c|c|}
\hline
x&y\
\hline
-3&-5\
-2&-3\
-1&-1\
0&1\
1&3\
2&5\
3&7\
\hline
\end{array}

となる。これらの点を座標にプロットすると

linear-function-graph-1

となり、線で結ぶと

linear-function-graph-2

となる。これを一次関数 (y=2x+1) のグラフという。

重要なポイントは

①一次関数のグラフは直線である
②二つの点がわかればグラフがわかる

ということ。上の赤い直線も ((0,\ 1)) と ((1,\ 3)) の二点を結んでいる。

一次関数のグラフの簡単な書き方(基本)

(y=3x-2) という一次関数のグラフを書いてみよう。上のポイントから二つの点がわかればグラフがわかるので、二つの点をまずは求める。

例えば (x) に (1) と (2) を入れると

\begin{array}{|c|c|}
\hline
x&y\
\hline
1&1\
2&4\
\hline
\end{array}

となる。つまりこのグラフは ((1,\ 1)) と ((2,\ 4)) の二点を通る。

linear-function-graph-3

後はこの二点を結ぶ。

linear-function-graph-4

一次関数のグラフの簡単な書き方(応用)

(y=\dfrac{2}{3}x-1) という一次関数のグラフを書いてみよう。前問と同じように二つの点を求めるが、なるべく (y) の値が整数になるようにする。例えば (x) に (1) を入れてしまうと

[
y=\dfrac{2}{3}\cdot{1}-1=-\dfrac{1}{3}
]

となってしまい、座標に点をプロットしにくくなってしまう。((1,\ -\dfrac{1}{3})) という点を無理にとってもグラフは不正確になる。そこで (x=3) としてみる。この (3) は (y=\dfrac{2}{3}x-1) の分母の (3) である。

[
y=\dfrac{2}{3}\cdot{3}-1=1
]

きれいな数になった。つまりこのグラフは ((3,\ 1)) を通る。グラフを書くにはあともう一つの点が必要だが、ここでは (x=0) をとってみよう。

[
y=\dfrac{2}{3}\cdot{0}-1=-1
]

やはりきれいな数になった。整理すると

\begin{array}{|c|c|}
\hline
x&y\
\hline
0&-1\
3&1\
\hline
\end{array}

となる。結局このグラフは ((0,\ -1)) と ((3,\ 1)) の二点を通る。

linear-function-graph-5

二点を結ぶと

linear-function-graph-6

グラフが完成する。

切片

直線のグラフと (y) 軸の交点の座標を切片という。例えば

linear-function-graph-2

の切片は、グラフと (y) 軸が (y=1) で交わっているから (1) である。

実はグラフの切片は (y=ax+b) の (b) に等しい。

(y=3x+5) の切片は (5)
(y=-2x+7) の切片は (7)
(y=x-4) の切片は (-4)

本当に合っているか確かめよう。(y=3x+5) と (y=-2x+7) と (y=x-4) のグラフは

linear-function-graph-8

となるため、切片が合っていることがわかる。

傾き

例えば次の三つのグラフを考える。

(y=x+1)

linear-function-graph-10-a

(y=2x+1)

linear-function-graph-10-b

(y=3x+1)

linear-function-graph-10-c

(y=ax+b) の (a) が大きくなればなるほど、グラフの傾きが急になっていることがわかる。このことから (y=ax+b) の (a) を傾きという。

例えば

(y=3x+5) の傾きは (3)
(y=-2x+7) の傾きは (-2)
(y=x-4) の傾きは (1)

である。

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