一次関数のグラフの書き方(プロットのやり方、切片と傾きの意味)

y = 2x + 1 のように y = ax + b という形の関数を一次関数という。

次の関数はすべて一次関数である。

y = x + 5
y = 3x + 7
y = 6x - 9
y = 100x + 200
y = -5x + 1

代入

y = 2x + 1 は x = 0 のとき y = 1 となり、x = 1 のとき y = 3 となる。

2・0 + 1 = 1
2・1 + 1 = 3

一次関数 y = 2x + 1 の x にいろいろな値を入れて x と y の関係を調べてみよう。

x y
-3 -5
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
3 7

となる。

座標

上の表で出てきた値を図にしてみよう。

点を結び、線にする。

これを一次関数 y = 2x + 1 のグラフという。一次関数のグラフは二つのポイントがある。

①一次関数のグラフは直線である
②二つの点がわかればグラフがわかる

上の赤い直線も (0, 1) と (1, 3) の二点を結んでいる。

グラフの書き方(基本)

y = 3x - 2 を書いてみよう。二つの点がわかればグラフがわかるので、二つの点を適当に求める。

例えば x に 1 と 2 を入れると

x y
1 1
2 4

となる。つまりこのグラフは (1, 1) と (2, 4) の二点を通る。

この二点を結ぶと、y = 3x - 2 のグラフになる。

一次関数のグラフの簡単な書き方(応用)

$y=\dfrac{2}{3}x-1$ という一次関数のグラフを書いてみよう。前問と同じように二つの点を求めるが、なるべく $y$ の値が整数になるようにする。例えば $x$ に $1$ を入れてしまうと

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{1}-1=-\dfrac{1}{3} \]

となってしまい、座標に点をプロットしにくくなってしまう。$(1,\ -\dfrac{1}{3})$ という点を無理にとってもグラフは不正確になる。そこで $x=3$ としてみる。この $3$ は $y=\dfrac{2}{3}x-1$ の分母の $3$ である。

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{3}-1=1 \]

きれいな数になった。つまりこのグラフは $(3,\ 1)$ を通る。グラフを書くにはあともう一つの点が必要だが、ここでは $x=0$ をとってみよう。

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{0}-1=-1 \]

やはりきれいな数になった。整理すると

\begin{array}{|c|c|} \hline x&y\\ \hline 0&-1\\ 3&1\\ \hline \end{array}

となる。結局このグラフは $(0,\ -1)$ と $(3,\ 1)$ の二点を通る。

二点を結ぶと

グラフが完成する。

切片

直線のグラフと $y$ 軸の交点の座標を切片という。例えば

の切片は、グラフと $y$ 軸が $y=1$ で交わっているから $1$ である。実はグラフの切片は $y=ax+b$ の $b$ に等しい。

$y=3x+5$ の切片は $5$
$y=-2x+7$ の切片は $7$
$y=x-4$ の切片は $-4$

本当に合っているか確かめよう。$y=3x+5$ と $y=-2x+7$ と $y=x-4$ のグラフは

となるため、切片が合っていることがわかる。

傾き

例えば次の三つのグラフを考える。

$y=x+1$

linear-function-graph-10-a

$y=2x+1$

linear-function-graph-10-b

$y=3x+1$

linear-function-graph-10-c

$y=ax+b$ の $a$ が大きくなればなるほど、グラフの傾きが急になっていることがわかる。このことから $y=ax+b$ の $a$ を傾きという。

例えば

$y=3x+5$ の傾きは $3$
$y=-2x+7$ の傾きは $-2$
$y=x-4$ の傾きは $1$

である。

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