一次関数のグラフの書き方(プロットのやり方、切片と傾きの意味)

$y=2x+1$ のように $y=ax+b$ という形をしている関数を一次関数という。例えば $y=2x+1$ は、$x=0$ のとき $y=1$ となり、$x=1$ のとき $y=3$ となる。

\[ 2\cdot{0}+1=1\\ 2\cdot{1}+1=3 \]

一次関数 $y=2x+1$ の $x$ にいろいろな値を入れて $x$ と $y$ の関係を調べてみよう。

x y
-3 -5
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
3 7

となる。これらの点を座標にプロットすると

となり、線で結ぶと

となる。これを一次関数 $y=2x+1$ のグラフという。

重要なポイントは

①一次関数のグラフは直線である
②二つの点がわかればグラフがわかる

ということ。上の赤い直線も $(0,\ 1)$ と $(1,\ 3)$ の二点を結んでいる。

一次関数のグラフの簡単な書き方(基本)

$y=3x-2$ という一次関数のグラフを書いてみよう。上のポイントから二つの点がわかればグラフがわかるので、二つの点をまずは求める。

例えば $x$ に $1$ と $2$ を入れると

xy
---|---
1|1
2|4

となる。つまりこのグラフは $(1,\ 1)$ と $(2,\ 4)$ の二点を通る。

後はこの二点を結ぶ。

一次関数のグラフの簡単な書き方(応用)

$y=\dfrac{2}{3}x-1$ という一次関数のグラフを書いてみよう。前問と同じように二つの点を求めるが、なるべく $y$ の値が整数になるようにする。例えば $x$ に $1$ を入れてしまうと

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{1}-1=-\dfrac{1}{3} \]

となってしまい、座標に点をプロットしにくくなってしまう。$(1,\ -\dfrac{1}{3})$ という点を無理にとってもグラフは不正確になる。そこで $x=3$ としてみる。この $3$ は $y=\dfrac{2}{3}x-1$ の分母の $3$ である。

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{3}-1=1 \]

きれいな数になった。つまりこのグラフは $(3,\ 1)$ を通る。グラフを書くにはあともう一つの点が必要だが、ここでは $x=0$ をとってみよう。

\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{0}-1=-1 \]

やはりきれいな数になった。整理すると

\begin{array}{|c|c|} \hline x&y\\ \hline 0&-1\\ 3&1\\ \hline \end{array}

となる。結局このグラフは $(0,\ -1)$ と $(3,\ 1)$ の二点を通る。

二点を結ぶと

グラフが完成する。

切片

直線のグラフと $y$ 軸の交点の座標を切片という。例えば

の切片は、グラフと $y$ 軸が $y=1$ で交わっているから $1$ である。実はグラフの切片は $y=ax+b$ の $b$ に等しい。

$y=3x+5$ の切片は $5$
$y=-2x+7$ の切片は $7$
$y=x-4$ の切片は $-4$

本当に合っているか確かめよう。$y=3x+5$ と $y=-2x+7$ と $y=x-4$ のグラフは

となるため、切片が合っていることがわかる。

傾き

例えば次の三つのグラフを考える。

$y=x+1$

linear-function-graph-10-a

$y=2x+1$

linear-function-graph-10-b

$y=3x+1$

linear-function-graph-10-c

$y=ax+b$ の $a$ が大きくなればなるほど、グラフの傾きが急になっていることがわかる。このことから $y=ax+b$ の $a$ を傾きという。

例えば

$y=3x+5$ の傾きは $3$
$y=-2x+7$ の傾きは $-2$
$y=x-4$ の傾きは $1$

である。

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