中2数学 連立方程式の文章題の解き方(食塩水の濃度)

例題 $9$ %の食塩水 $x\ \mathrm{g}$ と $4$ %の食塩水 $y\ \mathrm{g}$ を混ぜて $6$ %の食塩水 $500\ \mathrm{g}$ を作った。 $(1)$ $6$ %の食塩水 $500\ \mathrm{g}$ の食塩水に含まれる食塩は何 $\mathrm{g}$ か。 $(2)$ 問題に合わせて連立方程式をつくりなさい。 $(3)$ $x,\ y$ をそれぞれ求めなさい。

$6$ %はパーセントを外すと $\dfrac{6}{100}$ となります。また $y$ の $x$ %は $y\times\dfrac{x}{100}$ となるため、 $6$ %の食塩水 $500\ \mathrm{g}$ の食塩水に含まれる食塩は
[
500\times\frac{6}{100}\
=500\times\frac{3}{50}\
=30
]
となります。

$(1)$ \[ 500\times\frac{6}{100}\\ =500\times\frac{3}{50}\\ =30 \] 解 … $30\ \mathrm{g}$

$(2)$ $9$ %の食塩水 $x\ \mathrm{g}$ と $4$ %の食塩水 $y\ \mathrm{g}$ に含まれる食塩はそれぞれ \[ x\times\frac{9}{100} \] \[ y\times\frac{4}{100} \] であるから、混ぜた後の食塩水の食塩は \[ x\times\frac{9}{100}+y\times\frac{4}{100} \] となる。これは $(1)$ で求めた $30\ \mathrm{g}$ であるから \[ x\times\frac{9}{100}+y\times\frac{4}{100}=30 \] という等式が成り立つ。また食塩水の量を比較すると \[ x+y=500 \] である。以上から連立方程式は \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=500\\ x\times\dfrac{9}{100}+y\times\dfrac{4}{100}=30 \end{array} \right. \] となる。

食塩水の濃度の問題のポイントは「食塩水の比較」と「食塩の比較」です。上の答えではまず最初に「食塩」を比較しています。混ぜる前の食塩を変数を使って表すことができればOK。続いて食塩水の量を比較します。食塩水の濃度問題の連立方程式はほとんど

①混ぜる前の食塩水の合計 = 混ぜた後の食塩水
②混ぜる前の食塩の合計 = 混ぜた後の食塩

の二つを式にします。

$(3)$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=500\\ x\times\dfrac{9}{100}+y\times\dfrac{4}{100}=30 \end{array} \right. \] 下の式を $100$ 倍する。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=500\\ 9x+4y=3000 \end{array} \right. \] 上の式を $y$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} y=-x+500\\ 9x+4y=3000 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 9x+4(-x+500)=3000 \] \[ 9x-4x+2000=3000 \] \[ 5x+2000=3000 \] \[ 5x=1000 \] \[ x=200 \] もともとの連立方程式の最初の式 $x+y=500$ から \[ 200+y=500 \] \[ y=500-200=300 \] となる。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x=200\\ y=300 \end{array} \right. \]