中2数学 連立方程式の文章題の解説(人数と割合)

例題 ある中学校の去年の生徒数は男女合わせて $480$ 人だった。今年、男子は $10$ %、女子は $6$ %増えて、男女合わせて $38$ 人増えた。 $(1)$ 去年の男子の人数を $x$ 人、女子の人数を $y$ 人として連立方程式をつくりなさい。 $(2)$ 去年の男子、女子の人数を求めなさい。 $(3)$ 今年の男子、女子の人数を求めなさい。

$(1)$ 去年の男子の人数を $x$ 人、女子の人数を $y$ 人とすると \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=480\\ x\times\dfrac{10}{100}+y\times\dfrac{6}{100}=38 \end{array} \right. \] となる。

ここで $6$ %はパーセントを外すと $\dfrac{6}{100}$ となることに注意。次の公式を覚えよう。

$x\ \mathrm{\%}=\dfrac{x}{100}$

割合が苦手、パーセントが苦手という方はとりあえず上のパーセントの公式にしたがってパーセントを分数にしてみよう。例えば

$5\ \mathrm{\%}=\dfrac{5}{100}$

$3\ \mathrm{\%}=\dfrac{3}{100}$

$20\ \mathrm{\%}=\dfrac{20}{100}$

となります。したがって $y$ の $x$ %は

$y\times\dfrac{x}{100}$

となります。

$y$ の $x$ %は $y\times\dfrac{x}{100}$ である。

続いて $(2)$ に入ります。

$(2)$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=480\\ x\times\dfrac{10}{100}+y\times\dfrac{6}{100}=38 \end{array} \right. \] 下の式の両辺を $100$ 倍する。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=480\\ x\times{10}+y\times{6}=3800 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=480\\ 10x+6y=3800 \end{array} \right. \] 上の式の両辺を $6$ 倍する(下の式の $6y$ と合わせるため)。 \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x+6y=2880\\ 10x+6y=3800 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 10x+6y=3800\\ 6x+6y=2880 \end{array} \right. \] 上の式から下の式を引く。 \[ 4x=920 \] \[ x=230 \] 最初の式 $x+y=480$ より \begin{eqnarray*} y&=&480-x\\ &=&480-230\\ &=&250 \end{eqnarray*}よって \[ \left\{ \begin{array}{l} x=230\\ y=250 \end{array} \right. \] 男子 … $230$ 人 女子 … $250$ 人

去年の人数がわかれば、今年の人数もわかります。

$(3)$ 今年の男子の人数は \[ 230+230\times\frac{10}{100}\\ =230+230\times\frac{1}{10}\\ =230+23\\ =253 \] となる。今年の女子の人数は \[ 250+250\times\frac{6}{100}\\ =250+250\times\frac{3}{50}\\ =250+15\\ =265 \] となる。 男子 … $253$ 人 女子 … $265$ 人

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