中2数学 連立方程式の文章題(速さと道のり)の2通りの解き方

例題 太郎がA町から $3640\ \mathrm{m}$ 離れているB町まで出かける。A町とB町の間にバス停がある。太郎はA町からバス停まで分速 $70\ \mathrm{m}$ で歩き、バス停からB町まで分速 $130\ \mathrm{m}$ で走り、A町からB町まで $40$ 分かかった。 $(1)$ A町からバス停までの時間を $x$ 分、バス停からB町までの時間を $y$ として連立方程式をつくりなさい。 $(2)$ A町からバス停までの時間とバス停からB町までの時間を求めなさい。 $(3)$ A町からバス停までの道のりとバス停からB町までの道のりを求めなさい。

$(1)$ A町からバス停までの時間を $x$ 分とすると、A町からバス停までの道のりは \[ 70\times{x}=70x \] となる。同様にバス停からB町までの時間を $y$ 分とすると、バス停からB町までの道のりは \[ 130\times{y}=130y \] となる。A町からB町までの道のりは $3640$ であるから \[ 70x+130y=3640 \] という式が成り立つ。一方、太郎はA町からB町まで $40$ 分かかっているので \[ x+y=40 \] である。よって連立方程式は \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=40\\ 70x+130y=3640 \end{array} \right. \] である。

速さのポイントは

距離 $=$ 速度 $\times$ 時間

です。この公式からA町からバス停の道のりは $70x$ となります。

$(2)$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=40\\ 70x+130y=3640 \end{array} \right. \] 下の式を $10$ で割る。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=40\\ 7x+13y=364 \end{array} \right. \] 上の式を $y$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} y=-x+40\\ 7x+13y=364 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 7x+13(-x+40)=364 \] \[ 7x-13x+520=364 \] \[ -6x+520=364 \] \[ -6x=-156 \] \[ x=26 \] もとの連立方程式の最初の式 $x+y=40$ から \[ y=40-26=14 \] となる。 A町からバス停 … $26$ 分 バス停からB町 … $14$ 分

$(3)$ A町からバス停までの時間を $26$ 分だから、A町からバス停までの道のりは \[ 70\times{26}=1620 \] となる。同様にバス停からB町までの時間は $14$ 分だから、バス停からB町までの道のりは \[ 130\times{14}=1620 \] となる。 A町からバス停 … $1620\ \mathrm{m}$ バス停からB町 … $1620\ \mathrm{m}$

この例題は時間を変数にしましたが、学校によっては道のりを変数にする問題も扱います。「計算のしやすさ」で言えば、時間を変数にするほうが簡単です。

例題 太郎がA町から $3640\ \mathrm{m}$ 離れているB町まで出かける。A町とB町の間にバス停がある。太郎はA町からバス停まで分速 $70\ \mathrm{m}$ で歩き、バス停からB町まで分速 $130\ \mathrm{m}$ で走り、A町からB町まで $40$ 分かかった。 $(1)$ A町からバス停までの道のりを $x\ \mathrm{m}$ 、バス停からB町までの道のりを $y\ \mathrm{m}$ として連立方程式をつくりなさい。 $(2)$ A町からバス停までの道のりとバス停からB町までの道のりを求めなさい。

前の例題と違う点は時間でなく道のりを $x,\ y$ にしているところ。こうなると連立方程式自体が変わってきます。

$(1)$ A町からバス停までの道のりを $x\ \mathrm{m}$ とすると、A町からバス停までの時間は \[ x\div{70}=\frac{x}{70} \] となる。同様にバス停からB町までの道のりを $y\ \mathrm{m}$ とすると、バス停からB町までの時間は \[ y\div{130}=\frac{y}{130} \] となる。A町からB町までの時間は $40$ であるから \[ \frac{x}{70}+\frac{y}{130}=40 \] という式が成り立つ。一方、A町からB町まで $3640\ \mathrm{m}$ だから \[ x+y=3640 \] である。よって連立方程式は \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=3640\\ \dfrac{x}{70}+\dfrac{y}{130}=40 \end{array} \right. \] である。

ここで重要なポイントは

時間 $=$ 距離 $\div$ 速度

です。距離を求めるときはかけ算、時間を求めるときは割り算になります。

上の連立方程式は慣れないとかなり難しい。下の式が分数になっているので、そのままでは解けません。

$(2)$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=3640\\ \dfrac{x}{70}+\dfrac{y}{130}=40 \end{array} \right. \] 下の式を $70\times{130}=9100$ 倍する。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=3640\\ \dfrac{x}{70}\times{9100}+\dfrac{y}{130}\times{9100}=40\times{9100} \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=3640\\ 130x+70y=364000 \end{array} \right. \] 下の式を $10$ で割る。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x+y=3640\\ 13x+7y=36400 \end{array} \right. \] 上の式を $y$ に式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} y=-x+3640\\ 13x+7y=36400 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 13x+7(-x+3640)=36400 \] \[ 13x-7x+25480=36400 \] \[ 6x+25480=36400 \] \[ 6x=10920 \] \[ x=1820 \] もとの連立方程式の最初の式 $x+y=3640$ より \[ y=3640-1820=1820 \] となる。 A町からバス停 … $1620\ \mathrm{m}$ バス停からB町 … $1620\ \mathrm{m}$

非常に計算がややこしい。しかし出てくる答えは先ほどと同じになります。

文章題は連立方程式のつくり方によらず、同じ答えが出てきます。試験で時間が余ったら二番目のやり方で検算するのもいいでしょう。

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