加群の定義と基本的な性質といくつかの例

可換環 $A$ とアーベル群 $M$ について次の性質が成り立つとき、$M$ は $A$ 上の加群であるという。

$a(x+y)=ax+ay$

$(a+b)x=ax+bx$

$a(bx)=(ab)x$

$1x=x$

ここで $a,\ b \in A,\ x,\ y \in M$ である。

概念

加群は線形空間の拡張である。線形空間はRやCを係数とするn次元の空間であり、その元をベクトルという。有限次元の線形空間は、私たちが生きている空間のように座標があり、すべての点は次元の数に一致する分の座標で一意に表される。その座標はRやCの数で書かれる。

加群Mは本質的に線形空間であり、一つ一つの元はベクトルのようなもので、座標(係数)はAの元である。

基本性質

A自身、A加群である。これはR自身がR上の線形空間(一次元の線形空間、あるいは直線)であることと対応する。

Aのイデアルは、A加群である。イデアルはAに含まれるAの加群と定義することもできる。

Aが体のとき、A加群は線形空間になる。可換環は体の一般化であり、加群は線形空間の一般化である。

例:多項式全体の集合

線形空間と同様に、加群もxやyといったものを加えることで、いくらでも新しい加群をつくることができる。

xをAと関係ないものとする。xを変数とするA係数多項式は、A上の加群になる。すなわち

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

といった式からなる集合である。今後これを $A[x]$ と表す。多項式の足し算は同じ次数どうしの係数を足す、自明な足し算であり、スカラー倍はそれぞれの係数のかけ算である。

例:自由生成加群

上と同様、xとyをAと関係ないものとする。xとyも互いに関係ないとする。このとき

${ax+by|a,\ b \in A}$

はA上の加群になる。加群の演算が成り立つことは明らかである。この集合は線形空間と似た性質を持つ。すべての元はxとyという単位ベクトルによって座標に置き換えることができる。またAが特殊な性質を持っていれば、mx+nyとpx+qyというベクトルをとって、すべての元をこの二つの線形結合で表せるかもしれない。

このようにAと関係ない記号によって生成された加群を自由生成加群という。

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