運動量と力積の定義と運動量保存則

物体の運動状態を表すものに運動量という物理量がある。

運動量と力積の定義

運動量は $p$ で表し、質量と速度の積で定義する。

運動量の定義 \[ p=mv \]

ここで運動量を時間で微分してみよう。

\begin{eqnarray}
\frac{dp}{dt}&=&m\frac{dv}{dt}\
&=&ma\
&=&f
\end{eqnarray
}

一番上の式において微分を意味する $d$ を $\Delta$ にして、一番下の式とつなげると

[
\frac{\Delta p}{\Delta t}=f\
\Delta p=f\Delta t
]

となる。つまり力 $f$ を $\Delta t$ という時間だけ与えると、運動量が $\Delta p$ だけ変化する。

この $f\Delta t$ を力積という。力積とは、物体の受ける力とその力を受けている時間の積であり、運動量の変化である。

運動量保存則

上で見たように運動量が変化するときは必ず力が働いている。逆に言えば、外部から力が働かない限りその物体の運動量は変わらない(保存される)。

運動量保存則 物体の運動量は、外部から力が働かない限り変わらない。

物体 $1,\ 2$ (質量 $m_1,\ m_2$ )が $v_1,\ v_2$ という速度で運動していたとしよう。すると全体の運動量は

[
m_1 v_1+m_2 v_2
]

である。ここでこの二つの物体が衝突したとする。衝突すれば互いに力を与え、与えられることになる。そしてこの力はニュートンの作用反作用の法則から絶対値が等しく、向きが逆である。

物体 $1$ は物体 $2$ に $f$ 、物体 $2$ は物体 $1$ に $-f$ という力を微小時間 $\Delta t$ において与えたとする。するとそれぞれの運動量は次のように変化する。

[
m_1 v_1 \to m_1 v_1+(-f\Delta t)
]

[
m_2 v_2 \to m_2 v_2+(f\Delta t)
]

したがって全体の運動量は

[
m_1 v_1+(-f\Delta t)+m_2 v_2+(f\Delta t)=m_1 v_1+m_2 v_2
]

となって変化しない。つまり物体と物体は衝突しても、運動量の合計は保存される。

これは、それぞれの物体は外部から力を与えられているが、全体としては外部から力を与えられていないせいである。なおこのようにいくつかの物体をまとめて考えるとき、そのまとまりを「系」と呼ぶ。

運動量保存則は外部から力が働かない系において全体の運動量の合計が保存されることを示す。

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