自然対数の底(ネイピア数)の極限による定義|エクセルで自然対数の底の近似値を求める

自然対数の底(ネイピア数)を次のように定義する \[ e=\displaystyle \lim_{h\to{0}} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]

自然対数の底 $e$ は $2.718\cdots$ という数で、指数関数と対数関数の微分でよく出てくる。

指数関数と対数関数の微分の公式

$\log{e}{x}$ を単に $\log{x}$ と書く。同様に $\log{e}{a}$ を $\log{a}$ と書く。数学では対数の底 $e$ を省略する。

\[ (e^x)'=e^x \\ (\log{x})'=\dfrac{1}{x} \]

\[ (a^x)'=\log{a}a^x \\ (\log_{a}{x})'=\dfrac{1}{x\log{a}} \]

エクセル(Excel)で自然対数の底の近似値を求める

上の定義にしたがって自然対数の底を求める。

h (1+h)^{1/h}
0.1 2.59374246
0.01 2.704813829
0.001 2.716923932
0.0001 2.718145927
0.00001 2.718268237
0.000001 2.718280469
0.0000001 2.718281694
0.00000001 2.718281786
0.000000001 2.718282052
1E-10 2.718282053

実際の自然対数の底 $2.718281828459045\cdots$ にかなり近づくことがわかる。

広告