自然対数の底(ネイピア数)の極限による定義|エクセルで自然対数の底の近似値を求める
自然対数の底(ネイピア数)を次のように定義する
\[ e=\displaystyle \lim_{h\to{0}} (1+h)^{\frac{1}{h}} \]
自然対数の底 $e$ は $2.718\cdots$ という数で、指数関数と対数関数の微分でよく出てくる。
指数関数と対数関数の微分の公式
$\log_{e}{x}$ を単に $\log{x}$ と書く。同様に $\log_{e}{a}$ を $\log{a}$ と書く。数学では対数の底 $e$ を省略する。
\[ (e^x)'=e^x \\ (\log{x})'=\dfrac{1}{x} \]
\[ (a^x)'=\log{a}a^x \\ (\log_{a}{x})'=\dfrac{1}{x\log{a}} \]
エクセル(Excel)で自然対数の底の近似値を求める
上の定義にしたがって自然対数の底を求める。
$h$ | $(1+h)^{1/h}$ |
---|---|
0.1 | 2.59374246 |
0.01 | 2.704813829 |
0.001 | 2.716923932 |
0.0001 | 2.718145927 |
0.00001 | 2.718268237 |
0.000001 | 2.718280469 |
0.0000001 | 2.718281694 |
0.00000001 | 2.718281786 |
0.000000001 | 2.718282052 |
1E-10 | 2.718282053 |
実際の自然対数の底 $2.718281828459045\cdots$ にかなり近づくことがわかる。
極限(数学Ⅲ)
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指数関数の極限0111