ネーター環の定義と性質

すべてのイデアルが有限生成であるような可換環をネーター環という。

ネーター環Aの多項式環A[x]はネーター環になる(ヒルベルトの基底定理)ので、ネーター環が一つでもあると、そこからネーター環をつくることができる。

定義

ネーター環は、すべてのイデアルが有限生成であると定義されるが、他にもいくつかの定義があり、それらがすべて同値であることが示される。

ネーター環の同値な定義

  1. すべてのイデアルは有限生成である
  2. イデアルの任意の空でない集合は極大元をもつ
  3. 任意のイデアルの昇鎖は止まる

最後の鎖の定義は、イデアルの真の増大列は存在しないという意味。イデアルは真に大きくなり続けることはなく、どこかで停留すること。以上の三条件はすべて同値である。

性質

ネーター環を局所化するとネーター環ができる。つまり $A$ をネーター環、$S$ を $A$ の積閉集合とすると $S^{-1}A$ はネーター環になる。

ネーター環の多項式環はネーター環である。

Zはネーター環である。なぜならZのイデアルはすべてnZの形であり、有限生成だからである。

準素分解

ネーター環の著しい性質の一つは、ネーター環のすべてのイデアルは準素分解をもつことである。

準素分解は素因数分解の一般化である。素因数分解とは整数を素数の積に一意に分解できる定理であり、準素分解はイデアルを準素イデアルの共通部分にすることをいう。

アルティン環

ネーター環は、イデアルの昇鎖が停留する可換環として定義される。一方、アルティン環は、イデアルの降鎖が停留するような可換環として定義される。これだけ見ると対称的だが、実はアルティン環はネーター環である。つまりネーター環に、よりきつい条件をもうけた可換環がアルティン環である。

ネーター環とアルティン環のわかりやすい違いは次元である。アルティン環の次元は0だが、ネーター環はそうとは限らない。

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