中学受験算数予想問題 2016の性質|2016の素因数分解と約数と三角数

\[ 2016=2 \times 1008 \\ 1008=2 \times 504 \\ 504=2 \times 252 \\ 252=2 \times 126 \\ 126=2 \times 63 \\ 63=3 \times 21 \\ 21=3 \times 7 \]

よって $2016$ の素因数分解は

\[ 2016=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \]

となります。

$2016$ は $2$ を $5$ 回、 $3$ を $2$ 回、 $7$ を $1$ 回かけた数です。

2016の約数一覧

上の素因数分解の結果から、 $2016$ の約数の数は $(5+1)\times(2+1)\times(1+1)=36$ 個あります。

約数をリストアップするときはなるべく $2$ つの数の積の形にします。

\begin{eqnarray*} 2016 &=& 1 \times 2016 \\ &=& 2 \times 1008 \\ &=& 3 \times 672 \\ &=& 4 \times 504 \\ &=& 6 \times 336 \\ &=& 7 \times 288 \\ &=& 8 \times 252 \\ &=& 9 \times 224 \\ &=& 12 \times 168 \\ &=& 14 \times 144 \\ &=& 16 \times 126 \\ &=& 18 \times 112 \\ &=& 21 \times 96 \\ &=& 24 \times 84 \\ &=& 28 \times 72 \\ &=& 32 \times 63 \\ &=& 36 \times 56 \\ &=& 42 \times 48 \\ \end{eqnarray*}

他の年に比べて約数の数が極めて多い。その一つの原因が $2016$ が三角数であること。

2016はなんと三角数!

三角数とは $1$ からある整数まで順番に足した数の和のこと。

[
1 \
1+2=3 \
1+2+3=6 \
1+2+3+4=10 \
1+2+3+4+5=15 \
\vdots
]

$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \cdots$ を三角数といいますが、今年の数 $2016$ も三角数です。

\[ 2016=1+2+3+\cdots+63 \]

三角数の補足説明

三角数( $1$ からある整数まで順番に足した数の和)は下のように求めます。

$1$ から $n$ までの整数の和は \[ 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{1}{2} \times n \times (n+1) \] となる。

$n$ に $2016$ を入れると

[
1+2+3+\cdots+63=\dfrac{1}{2} \times 63 \times (63+1)=2016
]

となりますね。

2017は素数!

$2016$ は三角数だったり約数の数が多かったりと豊富な性質を持ちますが、その次の数 $2017$ はなんと素数。ここもおさえておきたいポイントでしょう。

2000以上の有名な素数 \[ 2003 \\ 2011 \\ 2017 \\ 2027 \]

2016年度中学受験の算数予想問題

1$2016$ を素因数分解しなさい。

2$2016$ の約数は何個あるか?

3$1$ から $63$ までの整数をすべて足しなさい。

4$2$ と $0$ と $1$ と $6$ と書かれたカードが一枚ずつある。この四枚のカードを並べて四桁の整数を作るとき、何通りできるか?

5$2016$ の約数をすべて足しなさい。

6$2016+1$ の約数をすべてあげなさい。

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

[
2016=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7
]

2

[
(5+1)\times(2+1)\times(1+1)=36
]

$36$ 個

3

[
1+2+3+\cdots+63=\dfrac{1}{2} \times 63 \times (63+1)=2016
]

4

[
4 \times 3 \times 2 \times 1 \times \dfrac{3}{4} = 18
]

$18$ 通り

5

[
(1+4+8+16+32)\times(1+3+9)\times(1+7)=6552
]

6

$1$ と $2017$ のみ

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[/su_accordion]