2018の素因数分解と性質から2018年の算数・数学の入試問題を予想する

今年と違い、来年の2018は素数ではありません。まずは素因数分解をしてみます。

2018 = 2 × 1009

...?

早速なじみのない1009という数が出てきました。2018を素因数分解しなさいという問題は、中学受験と大学受験を含めていくつかの学校が出すでしょう。そのとき1009という数をさらに素早く分解できる人はかなり少数派だと思います。

7はもちろん9も1009の約数ではありません。

実は1009は素数なのです。2018年の試験ではこのあたりがポイントになるでしょう。1009が素数であるため、2018はなんと

2 × 1009

が素因数分解であり

1
2
1009
2018

の4つしか約数がないのです。数学では4つしか約数がないもの、つまり素因数分解して素数が1個ずつしか出てこない数はかなり特殊な数としてあつかわれますが、この特殊な性質をふまえると次の問題が考えられます。

問題1

1〜30の中で約数が4つしかない数をすべてあげなさい。

解答1

1〜30の素数

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...

ここで素数を2個ずつとって数をつくります。

2 × 3 = 6
2 × 5 = 10
2 × 7 = 14
2 × 11 = 22
2 × 13 = 26
3 × 5 = 15
3 × 7 = 21
5 × 7 = 35 ... ×

以上より

6, 10, 14, 22, 26, 15, 21

が約数を4つもつ数になります。