媒介変数表示の例(直線、円、楕円、双曲線、放物線、サイクロイド、リサージュ曲線など)
多項式
$y=ax+b$ の媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=at+b \end{array} \right. \]
$y=x^2$ の媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t^2 \end{array} \right. \]
円
円の方程式
\[ x^2+y^2=r^2 \]
円の媒介変数表示その1
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{array} \right. \]
円の媒介変数表示その2
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{r(1-t^2)}{1+t^2} \\ y=\dfrac{2rt}{1+t^2} \end{array} \right. \]
楕円
楕円の方程式
\[ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]
楕円の媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{array} \right. \]
双曲線
双曲線の方程式
\[ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]
双曲線の媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{a}{\cos\theta} \\ y=b\tan\theta \end{array} \right. \]
放物線
放物線の方程式
\[ y^2=4px \]
放物線の媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=pt^2 \\ y=2pt \end{array} \right. \]
サイクロイドの方程式
サイクロイドは放物線などのように $f(x,\ y)=0$ という形で書けないため、最初から媒介変数で表示する。
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta) \\ y=a(1-\cos\theta) \end{array} \right. \]
リサージュ曲線の方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\sin{at} \\ y=\sin{bt} \end{array} \right. \]
ただし $a,\ b$ は有理数。
二次曲線
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二次曲線の接線の公式(楕円、双曲線、放物線)01992
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楕円の方程式と媒介変数表示:円の方程式の一般化0146
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楕円の方程式から焦点の座標を求める062