媒介変数表示の例(直線、円、楕円、双曲線、放物線、サイクロイド、リサージュ曲線など)

多項式

$y=ax+b$ の媒介変数表示

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=at+b \end{array} \right. \]

$y=x^2$ の媒介変数表示

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t^2 \end{array} \right. \]

円の方程式

\[ x^2+y^2=r^2 \]

円の媒介変数表示その1

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{array} \right. \]

円の媒介変数表示その2

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{r(1-t^2)}{1+t^2} \\ y=\dfrac{2rt}{1+t^2} \end{array} \right. \]

楕円

楕円の方程式

\[ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]

楕円の媒介変数表示

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{array} \right. \]

双曲線

双曲線の方程式

\[ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]

双曲線の媒介変数表示

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{a}{\cos\theta} \\ y=b\tan\theta \end{array} \right. \]

放物線

放物線の方程式

\[ y^2=4px \]

放物線の媒介変数表示

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=pt^2 \\ y=2pt \end{array} \right. \]

サイクロイドの方程式

サイクロイドは放物線などのように $f(x,\ y)=0$ という形で書けないため、最初から媒介変数で表示する。

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta) \\ y=a(1-\cos\theta) \end{array} \right. \]

リサージュ曲線の方程式

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=\sin{at} \\ y=\sin{bt} \end{array} \right. \]

ただし $a,\ b$ は有理数。