極座標と直交座標の変換公式(2次元と3次元)

2次元

極座標 $(r,\ \theta)$ から直交座標 $(x,\ y)$ への変換

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{array} \right. \]

直交座標 $(x,\ y)$ から極座標 $(r,\ \theta)$ への変換

\[ \left\{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \cos\theta=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin\theta=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{array} \right. \]

3次元

極座標 $(r,\ \theta,\ \phi)$ から直交座標 $(x,\ y,\ z)$ への変換

\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{array} \right. \]

直交座標 $(x,\ y,\ z)$ から極座標 $(r,\ \theta,\ \phi)$ への変換

\[ \left\{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \cos\theta=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\ \sin\theta=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \cos\phi=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ \sin\phi=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{array} \right. \]