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素イデアルの定義と性質(可換環)

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可換環Aのイデアルpは

  1. pはAでない
  2. xyがpに含まれるとき、xまたはyがpに含まれる

を満たすとき、Aの素イデアルという。

性質

Aをpで割ると整域になる。これは素イデアルの二番目の性質からわかる。

またA\pは積に関して閉じている。素イデアルは積の分解について「開いている」ので、それ以外の集合は自ずと閉じることになる。

整数Zは可換環であり、nZ(nは自然数)はすべてイデアルになる。ここでnが素数のとき、nZは素イデアルになる。

例えば3Zは素イデアル。実際、3Zは自明でないイデアルで、xyが3Zに含まれていたら、xまたはyが3の倍数になるため、xまたはyが3Zに含まれることになる。

しかし6Zは素イデアルでない。これはxyが6Zに含まれているとしても

x=2m
y=3n

かつ

mは3の倍数でない
nは2の倍数でない

のとき、xとyはどちらも6Zに含まれない。

このように素イデアルとは素数を拡張した概念といえる。

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