確率の相対度数と問題の解き方(さいころやくじなどの確率)|中学数学

中学数学の確率では最初に相対度数を扱います.相対度数は「ある出来事がどのくらいの頻度で起きたか」を示し,次の式で定義されます.

相対度数 (=) 起きた回数 (\div) 試行回数

試行回数とは,さいころを投げるゲームであれば「さいころを投げる回数」です.例えばさいころを (100) 回ふって (1) の目が (32) 回出たら,相対度数は (\dfrac{32}{100}) となります.次の例題で相対度数に慣れましょう.

例題次の表は (1) 個のさいころを投げたときの結果である.表を完全に埋めなさい.ただし相対度数は分数でよい.

[
\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
投げた回数&100&200&300&600\
\hline
2の目が出た回数&20&?&52&?\
\hline
2の目が出る相対度数&?&\dfrac{3}{20}&?&\dfrac{4}{25}\
\hline
\end{array}
]

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

例題

[
\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
投げた回数&100&200&300&600\
\hline
2の目が出た回数&20&30&52&96\
\hline
2の目が出る相対度数&\dfrac{1}{5}&\dfrac{3}{20}&\dfrac{13}{75}&\dfrac{4}{25}\
\hline
\end{array}
]
\begin{eqnarray}
&&\dfrac{1}{5}=\dfrac{20}{100}\
&&30=200\times\dfrac{3}{20}\
&&\dfrac{13}{75}=\dfrac{52}{300}\
&&96=600\times\dfrac{4}{25}
\end{eqnarray
}

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確率の問題

続いて確率の問題について学びます.確率は,その出来事が起きる可能性を示すもので

確率 (=) その出来事の数 (\div) 全体の出来事の数

で定義されます.例えば (10) 本のくじに (3) 本の当たりが入っているとき,当たりを引く確率は

当たりの数 (=) (3) 本
全体の数 (=) (10) 本

であるから (\dfrac{3}{10}) です.

1(1) つのさいころを投げるとき,次の確率を求めなさい.

((1)) (2) の目が出る確率

((2)) (2) または (3) の目が出る確率

((3)) (5) 以上の目が出る確率

((4)) (4) 未満の目が出る確率

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1)) (\dfrac{1}{6})

((2)) (\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})

((3)) (\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})

((4)) (\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2})

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2大小 (2) つのさいころを投げるとき,次の確率を求めなさい.

((1)) 両方とも (1) の目が出る確率

((2)) 出た目の和が (3) になる確率

((3)) 出た目の和が (7) になる確率

((4)) 出た目の差が (5) になる確率

((5)) 出た目の差が (2) になる確率

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

((1)) (\dfrac{1}{36})

((2)) 出た目の和が (3) になるのは
\begin{eqnarray}
&&(1,\ 2)\
&&(2,\ 1)
\end{eqnarray
}
の (2) 通りしかないから (\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}) である.

((3)) 出た目の和が (7) になるのは
\begin{eqnarray}
&&(1,\ 6)\
&&(2,\ 5)\
&&(3,\ 4)\
&&(4,\ 3)\
&&(5,\ 2)\
&&(6,\ 1)
\end{eqnarray
}
の (6) 通りだから (\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}) である.

((4)) 出た目の差が (5) になるのは
\begin{eqnarray}
&&(1,\ 6)\
&&(6,\ 1)
\end{eqnarray
}
の (2) 通りしかないから (\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}) である.

((5)) 出た目の差が (2) になるのは
\begin{eqnarray}
&&(1,\ 3)\quad(3,\ 1)\
&&(2,\ 4)\quad(4,\ 2)\
&&(3,\ 5)\quad(5,\ 3)\
&&(4,\ 6)\quad(6,\ 4)
\end{eqnarray
}
の (8) 通りだから (\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}) である.

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3(7) 本のうち (2) 本のあたりが入っているくじがある.A,Bの (2) 人がA,Bの順に (1) 本ずつくじをひく.

((1)) くじのひき方は全部で何通りか.

((2)) A,B両方とも当たる確率を求めなさい.

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

3

((1)) (7) 本のくじに (1) から (7) までの番号がついているとする.例えばAが (1) をひいたとすると,Bは残りの (2) から (7) までをひくことになる.つまりAが (1) をひくときBは (6) 通りのひき方がある.
\begin{eqnarray}
&&(1,\ 2)\
&&(1,\ 3)\
&&(1,\ 4)\
&&(1,\ 5)\
&&(1,\ 6)\
&&(1,\ 7)
\end{eqnarray
}
の (6) 通りである.同じようにAが (2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7) をひくときもそれぞれ (6) 通りであるから,くじのひき方は全部で
[
7\times{6}=42
]
(42) 通りある.

((2)) (7) 本のくじのうち (1) と (2) があたりとすると,A,B両方ともあたりをひくということは
\begin{eqnarray}
&&\mathrm{A}=1,\ \mathrm{B}=2\
&&\mathrm{A}=2,\ \mathrm{B}=1
\end{eqnarray
}
の (2) 通りである.全体で (42) 通りだから確率は
[
\dfrac{2}{42}=\dfrac{1}{21}
]
となる.

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4A,B,C,Dの (4) 人の男子とE,Fの (2) 人の女子がいる. (6) 人から (2) 人を図書委員に選ぶとき,次の問いに答えなさい.

((1)) (6) 人から (2) 人を選ぶ選び方は全部で何通りか.

((2)) A,Bが選ばれる確率を求めなさい.

((3)) (2) 人とも男子である確率を求めなさい.

((4)) 男子から (1) 人,女子から (1) 人選ばれる確率を求めなさい.

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

4

((1)) 以下の (15) 通り.
\begin{eqnarray}
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{B})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{C})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{D})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{C})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{D})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{D})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{D},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{D},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{E},\ \mathrm{F})
\end{eqnarray
}

((2)) 全部で (15) 通りあるから (\dfrac{1}{15}) となる.

((3)) ((1)) のリストから, (2) 人とも男子である選び方は
\begin{eqnarray}
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{B})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{C})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{D})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{C})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{D})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{D})
\end{eqnarray
}
の (6) 通り.よって (\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}) である.

((4)) 男子から (1) 人,女子から (1) 人選ぶケースは
\begin{eqnarray}
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{A},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{B},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{C},\ \mathrm{F})\
&&(\mathrm{D},\ \mathrm{E})\
&&(\mathrm{D},\ \mathrm{F})
\end{eqnarray
}
の (8) 通り.よって (\dfrac{8}{15}) である.

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