集合と論理（高校数学Ⅰ）：命題の真偽と反例、条件の否定のわかりやすい説明と練習問題

命題とは、何かを主張する文のことです。例えば「雨が降っている」といった文を命題といいます。もちろん $x = 1$ といった数学的な文も命題です。

「埼玉県は海に接している」も命題です。しかしこの「埼玉県は海に接している」という命題は誤り（これからは偽といいます）。なぜなら埼玉県は海に接していないからです。このように命題は正しいものと誤りのものがあり、それぞれ「真の命題」「偽の命題」といいます。

問題

次の命題の真偽を確かめなさい。

$(1)$　山口県は中国地方にある。

$(2)$　織田信長の家臣に武田信玄がいた。

$(3)$　日本とアメリカの間に大西洋がある。

$(4)$　$-4$ の絶対値は $4$ である。

$(5)$　$\sin 60^\circ = \dfrac{1}{2}$

$(6)$　$3^2 = 10$

解答

$(1)$　真

$(2)$　偽

$(3)$　偽

$(4)$　真

$(5)$　偽

$(6)$　偽

問題

次の命題の真偽を調べなさい。

$(1)$　$x > 1 \Rightarrow x > 0$

$(2)$　$x > 1 \Rightarrow x > 2$

$(3)$　$x^2 > 1 \Rightarrow x > 1$

$(4)$　$x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$

$(5)$　整数 $n$ について $n > 1 \Rightarrow n \geqq 2$

$(6)$　整数 $n$ について $n$ が $4$ の倍数ならば $n$ は偶数

解答

$(1)$　真

$(2)$　偽

$(3)$　偽

$(4)$　真

$(5)$　真

$(6)$　真

このように命題は基本的に真偽をつけることができます。

ここで $(3)$ の $x^2 \gt 1 \Rightarrow x \gt 1$ がなぜ偽であるか考えてみます。

例えば $x = -1$ の時、$x^2 > 1$ は成り立ちますが、$x > 1$ は当然成り立ちません。このように特定のケースを見つけて命題が偽であると主張できる場合があります。

これを反証といい、この特定のケースを反例といいます。ここでは $x = -1$ が反例となります。

問題

次の命題はすべて偽である。それぞれについて反例をあげなさい。

$(1)$　$xy > 0$ $\Rightarrow$ $x > 0$ かつ $y > 0$

$(2)$　$n$ は $3$ の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は $6$ の倍数

$(3)$　$n$ は $3$ の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は奇数

解答

$(1)$　$x = -1,\ y = -1$

$(2)$　$n = 3$

$(3)$　$n = 6$

命題の否定

命題はその否定を作ることができます。例えば「雨が降っている」の否定は「雨が降っていない」に、$x = 1$ の否定は $x \neq 1$ になります。

数式を否定する時はイコールをノットイコールにします。また $x > 1$ の否定は $x \leqq 1$ となります。

問題

次の命題の否定を作りなさい。

$(1)$　私はペンを持っている。

$(2)$　犬は哺乳類でない。

$(3)$　$x^2 - 2x + 1 = 0$ の解は $1$ のみである。

$(4)$　$2^2 = 4$

$(5)$　$\tan 45^\circ > \dfrac{1}{2}$

$(6)$　$1 + 1 > 3$

解答

$(1)$　私はペンを持っていない。

$(2)$　犬は哺乳類である。

$(3)$　$x^2 - 2x + 1 = 0$ の解は $1$ のみとは限らない。

$(4)$　$2^2 \neq 4$

$(5)$　$\tan 45^\circ \leqq \dfrac{1}{2}$

$(6)$　$1 + 1 \leqq 3$

『かつ』『または』が入っている命題の否定

続いて「 $x = 2$ かつ $y = 1$ 」というように and が入っている命題の否定について考えてみます。

結論としてこの命題の否定は

$x \neq 2$ または $y \neq 1$

となります。つまり個別の文を否定にして、「かつ」を「または」（and を or）にします。逆に「または」の否定は「かつ」になります。

かつ → または
または → かつ

問題

次の命題の否定を作りなさい。

$(1)$　私はペンを持っている、かつ、あなたはパンを食べていない。

$(2)$　犬は哺乳類でない、または、猫は魚類でない。

$(3)$　$x = 9$ または $y = 0.5$

$(4)$　$x \neq 1$ かつ $y = 3.14$

$(5)$　$3^2 = 3$ または $4^2 \neq 16$

$(6)$　$\tan 45^\circ \neq \dfrac{1}{2}$ かつ $\tan 30^\circ \neq \dfrac{1}{3}$

解答

$(1)$　私はペンを持っていない、または、あなたはパンを食べている。

$(2)$　犬は哺乳類である、かつ、猫は魚類である。

$(3)$　$x \neq 9$ かつ $y \neq 0.5$

$(4)$　$x = 1$ または $y \neq 3.14$

$(5)$　$3^2 \neq 3$ かつ $4^2 = 16$

$(6)$　$\tan 45^\circ = \dfrac{1}{2}$ または $\tan 30^\circ = \dfrac{1}{3}$

「すべて」「ある」が入っている命題の否定

「すべてのカラスは黒い」という命題を考えてみます。「すべて」という言葉に注目してください。この命題の否定は「あるカラスは黒くない」となります。「黒い」が「黒くない」に変わるだけでなく、「すべて」が「ある」に変わってしまうのです。

逆に「ある」の否定は「すべて」になります。例えば「ある犬は白い」という命題の否定は「すべての犬は白くない」となります。

問題

次の命題の否定をつくりなさい。

$(1)$　すべての星には水がある。

$(2)$　ある犬は猫と喧嘩しない。

$(3)$　すべての数は $0$ 以上である。

$(4)$　すべての三角形は三辺が等しい。

$(5)$　すべての数について、その二乗は $0$ 以上である。

$(6)$　すべての数 $x$ について、$x^2 + 1$ は $0$ 以上である。

解答

$(1)$　ある星には水がない。

$(2)$　すべての犬は猫と喧嘩する。

$(3)$　ある数は $0$ 未満である。

$(4)$　ある三角形は三辺が等しくない。

$(5)$　ある数について、その二乗は $0$ 未満である。

$(6)$　ある数 $x$ について、$x^2 + 1$ は $0$ 未満である。