二次関数のグラフの平行移動

二次関数は平行移動しても対称移動しても二次関数です.二次関数を (y=f(x)) という形で表すと,このグラフを (x) 軸方向に (p), (y) 軸方向に (q) だけ平行移動させた関数は (y-q=f(x-p)) となります.

\(y=f(x)\quad\to\quad{y-q=f(x-p)}\) つまり \(x\) と \(y\) を \(x\quad\to\quad{x-p}\) \(y\quad\to\quad{y-q}\) に変える

最も基本的な (y=x^{2}) では, (x) 軸方向に (p), (y) 軸方向に (q) だけ平行移動させた関数は (y-q=(x-p)^{2}) となります.

平行移動してもグラフの形そのものは変わりませんが,それは上の変換で二次関数の最高次係数 (y=ax^{2}+bx+c) でいう (a) が変わらないことからもわかります.平行移動によって変わるものはあくまで一次係数と定数項((y=ax^{2}+bx+c) でいう (b) と (c))です.

練習問題(平行移動)

1次の放物線をカッコ内のように平行移動し,移動後の方程式を求めなさい.ただしカッコ内の ((3,\ 4)) とは,(x) 軸方向に (3,\ y) 軸方向に (4) だけ平行移動させるという意味である.

((1)) (y=x^{2}\quad(3,\ 4))

((2)) (y=x^{2}\quad(-1,\ 2))

((3)) (y=x^{2}\quad(5,\ -6))

((4)) (y=x^{2}\quad(-8,\ -3))

((5)) (y=x^{2}+3x+5\quad(1,\ 1))

((6)) (y=4x^{2}-x+2\quad(2,\ 3))

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1))
\begin{eqnarray}
y-4&=&(x-3)^{2}\
y-4&=&x^{2}-6x+9\
y&=&x^{2}-6x+13
\end{eqnarray}

((2))
\begin{eqnarray}
y-2&=&(x-(-1))^{2}\
y-2&=&(x+1)^{2}\
y-2&=&x^{2}+2x+1\
y&=&x^{2}+2x+3
\end{eqnarray}

((3))
\begin{eqnarray}
y-(-6)&=&(x-5)^{2}\
y+6&=&x^{2}-10x+25\
y&=&x^{2}-10x+19
\end{eqnarray}

((4))
\begin{eqnarray}
y-(-3)&=&(x-(-8))^{2}\
y+3&=&(x+8)^{2}\
y+3&=&x^{2}+16x+64\
y&=&x^{2}+16x+61
\end{eqnarray}

((5))
\begin{eqnarray}
y-1&=&(x-1)^{2}+3(x-1)+5\
y-1&=&x^{2}+x+3\
y&=&x^{2}+x+4
\end{eqnarray}

((6))
\begin{eqnarray}
y-3&=&4(x-2)^{2}-(x-2)+2\
y-3&=&4x^{2}-17x+20\
y&=&4x^{2}-17x+23
\end{eqnarray}

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