確率変数と確率分布の基本 さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率変数とは、確率が一意に定まっている事象のこと。確率変数の実際の数値はその事象に対応する数値となる。

さいころを例にとると、さいころの目が確率変数Xとなり、1~6が確率変数Xのとりうる値になる。

さいころの目が出る確率はすべて1/6であり、それぞれの目に対応する確率は一つに定まる。

確率分布とその合計値

確率分布とは、確率変数Xのとりうる値xkに対して確率pkが定まっていること。pk(k=1...n)をまとめてPと書くことが多い。さいころの確率分布は

確率分布

となる。すべての事象の確率を足すと1になる。

確率の合計はいつも1

確率分布の確率の合計値は必ず1になる。

確率分布の合計はいつも1

2枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ1/2とすると、2枚のコインを投げたときの表が出る確率は次のようになる。

表の枚数が0枚
表が0枚

表の枚数が1枚
表が1枚

表の枚数が2枚
表が2枚

確率分布は次のとおり。

確率

表も裏も確率が同じなので、表が0枚のときと2枚のときの確率は等しくなる。このように考えると、表の枚数が1枚のときの確率は、1から「表が0枚のときと2枚のときの確率の和」を引いた確率となる。以下「表が1枚」といった言葉は「表1」などと省略する。

「枚数が少ないときの確率」から「枚数が中途半端なときの確率」を求める引き算的な考えはとても大切である。

3枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

表の枚数が0枚
表が0枚

表の枚数が1枚
表が1枚

表の枚数が2枚
表が2枚

表の枚数が3枚
表が3枚

確率分布は次のとおり。

コインが3枚のとき確率分布の図

コインが2枚のときの確率分布で引き算のやり方が出てきた。この考えはコインが3枚以上のときにより重要になってくる。「表1」と「表2」の確率は、0枚のときと3枚のときの確率がわかっていれば求められることを次にしめす。

まず表が1枚のとき、裏は2枚である。表と裏の確率は同じだから、「表1裏2」は「表2裏1」に等しい。そして「表0裏3」と「表3裏1」はそれぞれ1/8である。以上から

表1裏2
=(1-1/8×2)÷2
=3/8

となる。コインの確率問題では、表と裏の確率が同じであるとき、確率分布が左右対称のような感じになる。

2個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

2個のさいころをAとBに分けて、2個のさいころの出方に対する最大値(Max)を考えてみよう。

確率分布

それぞれのパターンの確率は1/36だから、確率分布は下のようになる。

確率分布

コード

上の説明に使った数式のコード。

\[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \\
\hline
1 & \frac{1}{6} \\
2 & \frac{1}{6} \\
3 & \frac{1}{6} \\
4 & \frac{1}{6} \\
5 & \frac{1}{6} \\
6 & \frac{1}{6} \\
\hline
\end{array}
\]

\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1
p_1 + \dots + p_n = 1

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}
2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}
{}_3 C _1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}

\[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \\
\hline
0 & \frac{1}{8} \\
1 & \frac{3}{8} \\
2 & \frac{3}{8} \\
3 & \frac{1}{8} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \\
\hline
1 & \frac{1}{36} \\
2 & \frac{3}{36} \\
3 & \frac{5}{36} \\
4 & \frac{7}{36} \\
5 & \frac{9}{36} \\
6 & \frac{11}{36} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & Max \\
\hline
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 3 \\
1 & 4 & 4 \\
1 & 5 & 5 \\
1 & 6 & 6 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 3 \\
2 & 4 & 4 \\
2 & 5 & 5 \\
2 & 6 & 6 \\
3 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 3 \\
3 & 4 & 4 \\
3 & 5 & 5 \\
3 & 6 & 6 \\
4 & 1 & 4 \\
4 & 2 & 4 \\
4 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 \\
4 & 5 & 5 \\
4 & 6 & 6 \\
5 & 1 & 5 \\
5 & 2 & 5 \\
5 & 3 & 5 \\
5 & 4 & 5 \\
5 & 5 & 5 \\
5 & 6 & 6 \\
6 & 1 & 6 \\
6 & 2 & 6 \\
6 & 3 & 6 \\
6 & 4 & 6 \\
6 & 5 & 6 \\
6 & 6 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]

広告

広告

広告

技術

言語

高校理系

高校文系

中学

小学

エッセイ

姉妹サイト