確率変数と確率分布の基本 さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率変数

確率変数とは、確率が一意に定まっている事象のこと。確率変数の実際の数値はその事象に対応する数値となる。

…という定義だけを考えるとわかりづらいため、さいころを例に考えてみます。ここで『さいころの目』が確率変数 $X$ となり、実際の $1$ ~ $6$ までの数値が確率変数 $X$ のとりうる値となります。

確率変数と確率変数のとりうる値は別物です。

さいころの目が出る確率はすべて $\dfrac{1}{6}$ であり、それぞれの目に対応する確率は一意に定まる。そのため『さいころの目』は確率変数と言うことができます。もしそれぞれの目に対応する確率がわからない、あるいは求められない場合は、『さいころの目』を確率変数ということはできない(実際そのようなことはほとんどない)。

確率分布

確率分布とは、確率変数 $X$ のとりうる値 $x_k$ に対して確率 $p_k$ が定まっていること。$p_k$ $(k=1,\cdots,n)$ をまとめて $P$ と書くことが多い。

確率変数の定義で確率変数のとりうる値(さいころで言えば $1$ ~ $6$ )に確率が対応していると述べましたが、そのとりうる値と確率の対応関係を確率分布といいます。確率分布は表で表すことが多い。

[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \
\hline
1 & \frac{1}{6} \
2 & \frac{1}{6} \
3 & \frac{1}{6} \
4 & \frac{1}{6} \
5 & \frac{1}{6} \
6 & \frac{1}{6} \
\hline
\end{array}
]

※表はページの都合上縦書きにしましたが、横書きでもかまいません。

ここで全事象の確率を足すと $1$ になることに注意。つまり

$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1$

となります。確率分布の確率の合計値は必ず $1$ になります。

確率変数 $X$ のとりうる値 $x_k$ $(k=1,\cdots,n)$ に対して確率 $p_k$ $(k=1,\cdots,n)$ が定まっているとき、 $p_1 + \dots + p_n = 1$ となる

2枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

以降、コインの表と裏が出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ とする。

表の枚数が $0$ 枚 … $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

表の枚数が $1$ 枚 … $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

表の枚数が $2$ 枚 … $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

よって確率分布は下のようになる。

[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \
\hline
0 & \frac{1}{4} \
1 & \frac{1}{2} \
2 & \frac{1}{4} \
\hline
\end{array}
]

3枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

表の枚数が $0$ 枚 … $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$

表の枚数が $1$ 枚 … ${}_3 C _1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$

表の枚数が $2$ 枚 … ${}_3 C _1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$

表の枚数が $3$ 枚 … $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$

よって確率分布は下のようになる。

[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \
\hline
0 & \frac{1}{8} \
1 & \frac{3}{8} \
2 & \frac{3}{8} \
3 & \frac{1}{8} \
\hline
\end{array}
]

2個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

この問題は授業でよく扱われる例題で、大きいさいころと小さいさいころを投げて、大きい方の目をメモするというゲームです。大きい方の目を使うので、メモされる数は比較的大きい数になると考えられます。少なくとも $\dfrac{7}{2}$ よりは大きいはず。実際そのようになることを計算して確かめます。

大きいさいころの目を『大』、小さいさいころの目を『小』、メモされる目を『結果』と書くことにすると、出方36パターンによる『結果』は下のようになります。

[
\begin{array}{ccc}
\hline
大 & 小 & 結果 \
\hline
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 2 \
1 & 3 & 3 \
1 & 4 & 4 \
1 & 5 & 5 \
1 & 6 & 6 \
2 & 1 & 2 \
2 & 2 & 2 \
2 & 3 & 3 \
2 & 4 & 4 \
2 & 5 & 5 \
2 & 6 & 6 \
3 & 1 & 3 \
3 & 2 & 3 \
3 & 3 & 3 \
3 & 4 & 4 \
3 & 5 & 5 \
3 & 6 & 6 \
4 & 1 & 4 \
4 & 2 & 4 \
4 & 3 & 4 \
4 & 4 & 4 \
4 & 5 & 5 \
4 & 6 & 6 \
5 & 1 & 5 \
5 & 2 & 5 \
5 & 3 & 5 \
5 & 4 & 5 \
5 & 5 & 5 \
5 & 6 & 6 \
6 & 1 & 6 \
6 & 2 & 6 \
6 & 3 & 6 \
6 & 4 & 6 \
6 & 5 & 6 \
6 & 6 & 6 \
\hline
\end{array}
]

それぞれのパターンは $\dfrac{1}{36}$ であるから、確率分布は下のようになります。

[
\begin{array}{cc}
\hline
X & P \
\hline
1 & \frac{1}{36} \
2 & \frac{3}{36} \
3 & \frac{5}{36} \
4 & \frac{7}{36} \
5 & \frac{9}{36} \
6 & \frac{11}{36} \
\hline
\end{array}
]

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