確率変数と確率分布の基本 さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率変数とは、確率が一意に定まっている事象のこと。確率変数の実際の数値はその事象に対応する数値となる。

さいころを例にとると、「さいころの目」が確率変数 $X$ となり、$1$ ~ $6$ が確率変数 $X$ のとりうる値になる。

さいころの目が出る確率はすべて $\dfrac{1}{6}$ であり、それぞれの目に対応する確率は一つに定まる。

確率分布

確率分布とは、確率変数 $X$ のとりうる値 $x_k$ に対して確率 $p_k$ が定まっていること。$p_k$ $(k=1,\cdots,n)$ をまとめて $P$ と書くことが多い。さいころの確率分布は

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \]

となる。

ここですべての事象の確率を足すと $1$ になる。

$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1$

確率分布の確率の合計値は必ず $1$ になる。

$p_1 + \dots + p_n = 1$

2枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ とすると、2枚のコインを投げたときの表が出る確率は

表の枚数が $0$ 枚 … $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

表の枚数が $1$ 枚 … $2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

表の枚数が $2$ 枚 … $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

となる。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array} \]

3枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

表の枚数が $0$ 枚 … $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$

表の枚数が $1$ 枚 … ${}_3 C _1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$

表の枚数が $2$ 枚 … ${}_3 C _1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$

表の枚数が $3$ 枚 … $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{8} \\ 1 & \frac{3}{8} \\ 2 & \frac{3}{8} \\ 3 & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array} \]

2個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

2個のさいころを「大きいさいころ」と「小さいさいころ」に分けて、2個のさいころの出方に対する最大値を考えてみよう。

\[ \begin{array}{ccc} \hline 大 & 小 & 最大値 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 6 & 6 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 4 & 6 & 6 \\ 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 5 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 6 \\ 6 & 2 & 6 \\ 6 & 3 & 6 \\ 6 & 4 & 6 \\ 6 & 5 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array} \]

それぞれのパターンの確率は $\dfrac{1}{36}$ だから、確率分布は下のようになる。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{36} \\ 2 & \frac{3}{36} \\ 3 & \frac{5}{36} \\ 4 & \frac{7}{36} \\ 5 & \frac{9}{36} \\ 6 & \frac{11}{36} \\ \hline \end{array} \]

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