分母の有理化(分母が和または差の式のとき)

分母にルートが含まれている分数は分母の有理化という手順によって根号を外します。

分母の有理化の基本

$\dfrac{c}{\sqrt{a}}=\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\dfrac{c\sqrt{a}}{a}$

分母が単純な根号の場合、分母の数を分子と分母の両方にかけて分母のルートを外します。分母からルートが外れる代わりに分子にルートがつきます。分母のルートを分子に『なすりつける』のです。

1次の式の分母を有理化しなさい。

(1) $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$

(2) $\dfrac{3}{\sqrt{7}}$

(3) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

(4) $\dfrac{15}{2\sqrt{5}}$

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1

(1)
$\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

(2)
$\dfrac{3}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$

(3)
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

(4)
$\dfrac{15}{2\sqrt{5}}=\dfrac{15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{15\sqrt{5}}{10}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

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分母の有理化の応用(分母が和または差の式)

$\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

$\dfrac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\dfrac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$

分母が式になっているとき、特に二つの根号の和または差になっているとき、和であれば差、差であれば和の式を分子と分母にかけます。そして分母を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ のような形にして根号を外します。

2次の式の分母を有理化しなさい。

(1) $\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(2) $\dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

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2

(1)
$\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2)
$\dfrac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\dfrac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

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