正多面体の面、辺、点の数とオイラーの多面体定理(中1数学)
正多面体の面、辺、点の数をまとめると下の表になります。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 4 |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | 8 |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | 6 |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | 20 |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | 12 |
正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば 12、正二十面体であれば 20 となります。
辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか? 面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | - | - |
正六面体 | 正方形 | 6 | - | - |
正八面体 | 正三角形 | 8 | - | - |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | - | - |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | - | - |
これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。
- まず辺の数を求める
- そして点の数を求める(オイラーの多面体定理)
正多面体の辺の数
辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。
(正多面体の辺の数)
=(面の辺の数)×(正多面体の面の数)÷ 2
正十二面体でやってみましょう。
(正十二面体の辺の数)
=(五角形の辺の数)×(正十二面体の面の数)÷ 2
= 5 × 12 ÷ 2
= 30
正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。
(正四面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正四面体の面の数)÷ 2
= 3 × 4 ÷ 2
= 6
(正六面体の辺の数)
=(四角形の辺の数)×(正六面体の面の数)÷ 2
= 4 × 6 ÷ 2
= 12
(正八面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正八面体の面の数)÷ 2
= 3 × 8 ÷ 2
= 12
(正二十面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正二十面体の面の数)÷ 2
= 3 × 20 ÷ 2
= 30
以上から
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | - |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | - |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | - |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | - |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | - |
となります。
正多面体の点の数
正多面体の点の数をオイラーの多面体定理から求めます。
オイラーの多面体定理
(点の数)=(辺の数)-(面の数)+ 2
これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。
(正四面体の点の数)
= 6 - 4 + 2
= 4
(正六面体の点の数)
= 12 - 6 + 2
= 8
(正八面体の点の数)
= 12 - 8 + 2
= 6
(正十二面体の点の数)
= 30 - 12 + 2
= 20
(正二十面体の点の数)
= 30 - 20 + 2
= 12
まとめると
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 4 |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | 8 |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | 6 |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | 20 |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | 12 |
となります。
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