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正多面体の面、辺、点の数とオイラーの多面体定理 中学一年生三学期期末対策

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正多面体の面、辺、点の数をまとめると下の表になります。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 4
正六面体 正方形 6 12 8
正八面体 正三角形 8 12 6
正十二面体 正五角形 12 30 20
正二十面体 正三角形 20 30 12

正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば12、正二十面体であれば20となります。

では辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか? 面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 - -
正六面体 正方形 6 - -
正八面体 正三角形 8 - -
正十二面体 正五角形 12 - -
正二十面体 正三角形 20 - -

この表をまずは紙に書いてください。これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。

  1. まず辺の数を求める
  2. そして点の数を求める(オイラーの多面体定理)

正多面体の辺の数

辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。

(正多面体の辺の数)
=(面の辺の数)×(正多面体の面の数)÷2

正十二面体でやってみましょう。

(正十二面体の辺の数)
=(五角形の辺の数)×(正十二面体の面の数)÷2
=5×12÷2=30

正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。

(正四面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正四面体の面の数)÷2
=3×4÷2=6

(正六面体の辺の数)
=(四角形の辺の数)×(正六面体の面の数)÷2
=4×6÷2=12

(正八面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正八面体の面の数)÷2
=3×8÷2=12

(正二十面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正二十面体の面の数)÷2
=3×20÷2=30

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こうして以下の表が完成します。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 -
正六面体 正方形 6 12 -
正八面体 正三角形 8 12 -
正十二面体 正五角形 12 30 -
正二十面体 正三角形 20 30 -

正多面体の点の数

正多面体の点の数をオイラーの多面体定理から求めます。

オイラーの多面体定理

(点の数)=(辺の数)-(面の数)+2

これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。

(正四面体の点の数)
=6-4+2
=4

(正六面体の点の数)
=12-6+2
=8

(正八面体の点の数)
=12-8+2
=6

(正十二面体の点の数)
=30-12+2
=20

(正二十面体の点の数)
=30-20+2
=12

こうして以下の表が完成します。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 4
正六面体 正方形 6 12 8
正八面体 正三角形 8 12 6
正十二面体 正五角形 12 30 20
正二十面体 正三角形 20 30 12

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