正多面体の面、辺、点の数とオイラーの多面体定理 中学一年生三学期期末対策

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 4
正六面体 正方形 6 12 8
正八面体 正三角形 8 12 6
正十二面体 正五角形 12 30 20
正二十面体 正三角形 20 30 12

正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば12、正二十面体であれば20となります。

では辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか? 面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 - -
正六面体 正方形 6 - -
正八面体 正三角形 8 - -
正十二面体 正五角形 12 - -
正二十面体 正三角形 20 - -

この表をまずは紙に書いてください。これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。

・まず辺の数を求める ・最後に点の数を求める(オイラーの多面体定理)

辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。

(正多面体の辺の数)=(面の辺の数)×(正多面体の面の数)÷ 2

正十二面体でやってみましょう。

(正十二面体の辺の数)=(五角形の辺の数)×(正十二面体の面の数)÷ 2            = 5 × 12 ÷ 2 = 30

正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。

(正四面体の辺の数)=(三角形の辺の数)×(正四面体の面の数)÷ 2           = 3 × 4 ÷ 2 = 6

(正六面体の辺の数)=(四角形の辺の数)×(正六面体の面の数)÷ 2           = 4 × 6 ÷ 2 = 12

(正八面体の辺の数)=(三角形の辺の数)×(正八面体の面の数)÷ 2           = 3 × 8 ÷ 2 = 12

(正二十面体の辺の数)=(三角形の辺の数)×(正二十面体の面の数)÷ 2            = 3 × 20 ÷ 2 = 30

こうして以下の表が完成します。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 -
正六面体 正方形 6 12 -
正八面体 正三角形 8 12 -
正十二面体 正五角形 12 30 -
正二十面体 正三角形 20 30 -

最後にオイラーの多面体定理を使って点の数を求めます。

オイラーの多面体定理 (点の数)=(辺の数)-(面の数)+ 2

これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。

(正四面体の点の数)= 6 - 4 + 2 = 4 (正六面体の点の数)= 12 - 6 + 2 = 8 (正八面体の点の数)= 12 - 8 + 2 = 6 (正十二面体の点の数)= 30 - 12 + 2 = 20 (正二十面体の点の数)= 30 - 20 + 2 = 12

こうして以下の表が完成します。

面の形 面の数 辺の数 点の数
正四面体 正三角形 4 6 4
正六面体 正方形 6 12 8
正八面体 正三角形 8 12 6
正十二面体 正五角形 12 30 20
正二十面体 正三角形 20 30 12